分析与方程类问题3:假设M、Q是给定正常数,函数f(x)=1-M/r/r+Q/r/r/r/r-r*r有3个不同正根rc>r+>r->0,证明f'(r+) + f'(r-) < 0。
这题硬做即可,令 x= r*r, f(r) = -(x-a)(x-b)(x-c)/xx, 其中 0<a<b<c,且a+b+c=1
则 df/dx = 2(x-a)(x-b)(x-c)/xxx - (x-a)(x-b)/xx - (x-b)(x-c)/xx - (x-c)(x-a)/xx
dr/dx = 1/2/sqrt(x)
df/dx(x=a) = -(b-a)(c-a)/aa
df/dx(x=b) = (b-a)(c-b)/bb
欲证 0 > f'(r+)+f'(r-) = (b-a)(c-b)/bb/2/sqrt(b) - (b-a)(c-a)/aa/2/sqrt(a)
即为 (c-b)/bb/sqrt(b) < (c-a)/aa/sqrt(a)
令b/a = B, c/a = C, 则 C>B>1, 原式化为
C(B^2.5-1) > B(B^1.5-1),显然成立
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 分析与方程类问题4:定义序列 a_{n+1} = a_n + a_n*a_n/n/n ,0<=a_1<1,证明 lim_{n->∞}a_n 存在且有限。
: 不知道这么证明是否严谨(有些步骤写得比较省略):
: 1)令b_n = a_n/n,则 b_{n+1}-b_n = -b_n * (1-b_n)/(n+1)。由b_1<1可得{b_n}单调递减,且lim_{n->∞}b_n = 0。
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