假设存在满足条件的 a，b，c。先证 a+b，b+c，a+c 两两互素。如果(a+b， b+c)=d>1，设 p 是 d 的一个素因子，则 p|a+b，由 a+b|c2 可得 p|c^2 ，进而 p|c。同理可得 p|a，由 p|a+b 又可得 p|b。综上，p|a、p|b、p|c，这与(a，b，c)=1 矛盾。则 a+b 与 b+c 互素，同理可得 a+b，b+c，a+c 两两互素。
由(a+b+c)^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2 及 a+b|c^2，得 a+b|(a+b+c)^2同理可得 b+c|(a+b+c)^2，a+c|(a+b+c)^2 所以，(a+b)(b+c)(a+c)|(a+b+c)^2那么，(a+b)(b+c)(a+c)≤(a+b+c)^2
要使以上不等式成立，有 a=b=c=1，而此时不满足条件。
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 是否存在这样的正整数a,b,c,满足(a,b,c)=1,且a^2/(b+c), b^2/(a+c), c^2/(a+b)均为整数？
: 如果存在，请写出满足条件的所有解，如果不存在请说明理由。
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发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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