你的这个证法不错
可以很简洁的得到HB⊥AB的结论

我的证法如下
就用你的图
核心就是证出HB⊥AB这个结论

设AE与DC的交点为H 连接BE和CE 设BD与AF的交点为J
由垂径定理  可知 DC垂直平分AE  
即DC⊥AE且AH=EH
∴CE=CA 显然CE是圆O的另一条切线
由弦切角定理
∠ HCB=∠BAC=∠AEB=∠HEB
∴HBCE四点共圆
∴∠BHC=∠BEC=∠EAB=∠HAB
由AH⊥HC 结合∠BHC=∠HAB 易知HB⊥AB
结合已知条件AF⊥DE
∴∠JBH=90°-∠ABD=90°-∠AED=∠FAE=∠JAH
∴AJHB四点共圆
∴∠AJH=180°-∠ABH=90°
即JH∥FE
结合AH=EH可知 AJ=FJ
即直线BD平分线段AF
Q.E.D

这证法略长 但优点是没那么多辅助线 应该比较容易想到
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 辅助线如图。
: 直径CG⊥O1C, O1A⊥AC,所以O1AG共线。
: O1O2是△ABH中位线，且O1O2⊥AB，所以HB⊥AB。∠AHB=pi/2-∠HAB=pi/2-∠EDB=∠DJF=∠AJB，所以AJHB四点共圆。
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*