- 主题:0.循环9=1的严格证明zz
受过专业训练的人，应该首先考虑无限小数的定义是什么，在此定义下运算规则是什么，后面就会有表示范围和唯一性等问题。由于表示范围是实数，还会涉及实数运算的问题。
实数的无穷小数表示，在直观上的难点，其实和实数的其他表示方法一样，是承认实无穷的概念，即承认一个无穷集合（小数数位、cauchy列、dedekind分割之类）作为一个整体表示一个单个的数。这是实数理解非常反直觉的一点，在历史上实数严格化也远远晚于极限论。在数学专业可能比ε-δ语言理解更难。
无限小数就是这么一个看起来简单其实非平凡的一个东西。很多微积分方面的书在提到无穷小数时，要么规定不能有连续无穷多个0，要么规定不能有连续无穷多个9，也是因为有限小数的无限小数表示法不唯一。要说清楚这个不唯一，其实在理解实数内涵定义后，在极限论下是个平凡结论。不过逻辑上极限论是建立在实数定义之后的。
这也是为什么数学专业的分析入门课教材，不论早一些一开始讲，还是推晚一些后讲，总要把实数论的确界理论、闭集套、cauchy列、有限开覆盖等等一堆定理，结合那本教材采取的实数的构造性定义，绕圈循环证明一遍。这个真打通了，才不会有 0.99…=1.00…=1.0=1/1=2/2=1 的疑惑。
另外还看到有个别教材是先给出公理化实数定义的，然后再从自然数系一步步扩张到实数系构造一个实数公理的模型，最后考虑所有模型等价性之类问题。这种可能叙述更现代一些？适合回过头来理解实数的。
对啊，为什么大家不问 1/1 = 2/2 = 999/999 这个分数表示不唯一的问题呢？因为不涉及无穷直观上比较容易。
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
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: 下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。
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修改:milksea FROM 124.64.18.*
FROM 124.64.18.*
无限小数其实挺坑的概念。
讨论有理数本来根本不需要引入小数，更遑论无限小数，有分数就够了，古希腊就是这样的。
有限小数也没问题，就是10^n为分母的分数另一种写法。
无限小数就涉及无穷了，表示范围扩大到了实数这个中学都说不清的概念。为什么有些有理数（既约分数表示中分母只有2和5因子，即能表示为有限小数的）的无限小数表示不唯一，为什么其它实数的无限小数表示方法唯一？小学就引入的这个无限小数是经不起追问的，没法用小学知识说清楚。
【 在 upndown 的大作中提到: 】
: 什么狗屁高知社区，连有理数的概念都不懂。循环小数只是有理数的一种表示方式而已，和分数是等价的。
: 【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: : 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
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怎么说呢，上学的时候老师曾经说过，证明本身是为了逻辑推演，但首先是让读者相信，有时候不严格的证明也是有意义的，就是让读者相信。
Hilbert之前其实欧式几何公理下的证明也是不严格的，但大家都很信服不是吗？
所以中小学终究还是需要给孩子们一个可以用来相信的“证明”的。或者说解释吧。
我个人比较喜欢的给孩子解释是，首先就说明一些数的无限小数表示不唯一，和分数有约分问题一样。然后类似小学通过竖式除法的方式引入无限循环小数做法，仍用竖式除法，计算1/1。
只要稍稍放宽竖式除法规则中，试除数位乘以除数必须是最大的这个限制，就很容易得到
1/1 = 0.9999…
的除法竖式。因为每一位商都不大于9，这个结果是有意义的。这就通过一个构造性过程说明 1/1 的循环小数表示不仅可以是 1.0000…，也可以是 0.9999…。
这个方法很容易用来说明任何有限小数，比如 0.5，在无限循环小数的表示中不唯一，可以是 0.50000… 或者 0.49999…。因为是操作性的，又和小学引入循环小数的办法一样，应该说比较好理解。
【 在 nikezhang 的大作中提到: 】
: 说的不错，很多人就是不知道实数完备性的几个定理，凭着高中知识瞎说的
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: 【 在 milksea (肥了，又肥了 >>>_<<<) 的大作中提到: 】
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FROM 124.64.18.*
数字没有所谓无穷小这个东西。
牛顿时代的这个不准确的概念其实早抛弃了。
【 在 dawei78 的大作中提到: 】
: 窃以为 0.3循环 + 无穷小 =1/3
: 【 在 upndown 的大作中提到: 】
: : 什么狗屁高知社区，连有理数的概念都不懂。循环小数只是有理数的一种表示方式而已，和分数是等价的。
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无限小数没有“最后一位”。所以你的说法是不成立的。
当然你问了一个很好的问题，就是无限小数的运算规则问题，这需要定义。准确的定义都是基于极限论的。
不过可以不那么严格地直观说明一下：对于无限小数，你可以用有限小数以任意精度近似计算，得到任意精度的近似结果，这个应该不难理解。那么，既然结果可以是任意精度的，对小数点后确定的某一位，就可以算出准确结果，因为后面不精确的近似小于这个数位很多。于是，你只要用这种方法，就可以得到无限小数运算后的每一位的精确值——那就是运算结果的无限小数表示。
你用这个定义计算 0.99… × 0.99…，就一定能得到结果还是 0.99…。其实也就是 1。
【 在 webhost 的大作中提到: 】
: 发现水木的水平真的是下降太多了
: 我就问一个简单的问题：0.9循环乘以0.9循环，到底是多少？
: 按照乘法的运算，两者的小数点后最后一位都是9，99相乘的结果就得出乘积的小数点后最后一位是1，那么最后结果就绝不可能等于1。
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修改:milksea FROM 124.64.18.*
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其实你去看教材，如果编写者不想出问题的话，比大小的*定义*通常是减差：
a < b 等价于 a - b < 0
逐位比大小是数字特定表示形式的一种简化算法，不可能是定义。而且教材不想留坑的话，逐位比大小肯定只是适用于有限小数的。
这种我们一般叫定义，不叫公理。
【 在 lytong 的大作中提到: 】
: 无限不循环也实用，比如3.2比π大吧？
: 无限循环也实用，比如3.4＞3.3循环吧？
: 唯独就这个0.9循环不适用，对不对？
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修改:milksea FROM 124.64.18.*
FROM 124.64.18.*
没这个东西。
用不太严格的数学语言来讲，求极限你可以理解为过程，但极限结果就是数。
【 在 gulunmu 的大作中提到: 】
: 要无限循环就代表相等，那1-，1，1+呢？
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: FROM 112.64.60.*
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FROM 221.222.21.*
中小学阶段无限小数的运算没严格定义过。0.11…×9是什么结果，就说不清。
【 在 rit 的大作中提到: 】
: 分数的证明怎么就不严谨了？先说说看
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FROM 221.222.21.*
所有有限小数都有两种无限小数表示。比如 0.14 = 0.140000… = 0.139999…
注意我们考虑的是数的表示法，有 0 循环才是无限小数，抹掉 0 是有限小数。
也可以证明，只有能表示为有限小数的有理数才有两种无限小数表示。
这个表示不唯一在各种进位制下都有的。
【 在 spritesw 的大作中提到: 】
: 哪个有理数的无限小数表示不唯一？
: 【 在 milksea 的大作中提到: 】
: : 无限小数其实挺坑的概念。
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FROM 221.222.21.*
非数学专业的高数教材本来就不要求严格理解实数系，包括物理专业一般都不需要。
数学专业则除了2到3学期的分析入门课外，又在分析学，代数学，拓扑，逻辑学和集合论等等诸多领域的课程中不断反刍，加深对十九世纪以来产生的现代数系的理解的。
【 在 Rayn 的大作中提到: 】
: 很多高校的高数教材开头对实数的定义和性质的介绍很简略，p大的高数教材也是如此，第一章第一节是实数。而像菲赫金哥尔茨的微积分，绪论一整章都是比较详细的介绍了实数的定义和性质。
: 【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: : 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。先从把问题转为严谨的 ...
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