- 主题:问个四年级奥数题
两位数平方%15=1，这样的两位数有多少个?
我家想了2个解法，感觉都不是最佳解法
发自「今日水木 on M2004J7BC」
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FROM 221.218.142.*
个位为1、4、6、9且不能被3整除的的2位数
【 在 Karenhorney 的大作中提到: 】
: 两位数平方%15=1，这样的两位数有多少个?
: 我家想了2个解法，感觉都不是最佳解法
: 发自「今日水木 on M2004J7BC」
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修改:FruitNinja FROM 221.218.138.*
FROM 221.218.138.*
陶题，分情况枚举吧
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FROM 114.253.100.*
两位数的平方 不是两位数
【 在 FruitNinja 的大作中提到: 】
: 个位为1、4、6、9且不能被3整除的的2位数
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FROM 221.218.142.*
你没看懂，两位数为x，（x^2）%15=1，说明
1、x^2的个位为1或者6，因此x的个位必须为1、4、6、9
2、x^2-1能被15整除，x^2-1=（x+1）*（x-1），要想被15整除，那么x+1或者x-1必须有一个能被3整除，x不能为3的倍数
因此符合条件的两位数是个位为1、4、6、9却不能被3整除的2位数。
11 31 41 61 71 91
14 34 44 64 74 94
16 26 46 56 76 86
19 29 49 59 79 89
就这些
【 在 Karenhorney 的大作中提到: 】
: 两位数的平方 不是两位数
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FROM 221.218.138.*
赞
我们也用到了平方差，但没想到（a+1）(a-1)能被3整除完全等价于a不能被3整除
【 在 FruitNinja 的大作中提到: 】
: 你没看懂，两位数为x，（x^2）%15=1，说明
: 1、x^2的个位为1或者6，因此x的个位必须为1、4、6、9
: 2、x^2-1能被15整除，x^2-1=（x+1）*（x-1），要想被15整除，那么x+1或者x-1必须有一个能被3整除，x不能为3的倍数
: ...................
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FROM 221.218.142.*
十进制两位数的范围是 10 ~ 99
把这个十进制对应到 15 进制，并且也要保证两位数，对应是：
10 ~ 69
好了，一个十五进制的数，平方之后对 15 取余为 1。
说明这个十五进制数的“个位”只能是 1。
所以就是 15 进制的 11,21,31,41,51,61
换成十进制就可以了。
【 在 Karenhorney 的大作中提到: 】
: 两位数平方%15=1，这样的两位数有多少个?
: 我家想了2个解法，感觉都不是最佳解法
: 发自「今日水木 on M2004J7BC」
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FROM 223.72.91.*
十五进制，就不能用十进制里的15了吧，解题是错的
【 在 ameng 的大作中提到: 】
: 十进制两位数的范围是 10 ~ 99
: 把这个十进制对应到 15 进制，并且也要保证两位数，对应是：
: 10 ~ 69
: ...................
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FROM 124.64.16.*
十进制的 15 在 15 进制里面是 10 啊。
说白了就是把 10 进制 的 10 ~ 99 换算到 15 进制。
平方之后，按 15 进制写出来，然后按 15 进制的 10 取模。
就相当于 15 进制最低位是 1 的，对应原来的 10 进制就是平方数模 15 等于 1。
【 在 castjimmy 的大作中提到: 】
: 十五进制，就不能用十进制里的15了吧，解题是错的
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FROM 124.64.19.*
十五进制的个位还可以是4、11、14
其实直接考查模15的余数就行，逐一检查1-7的平方模15的余数，如果a(a知1-7中某个数
）的平方模15余1，那么这个两位数模15余a或15-a均可
如果把15这个数改大一些，比如105，那就需要考查一下底数模15的质因数的余数，再中
国剩余定理了
当然不改大也可，这题我们知道这个数的平方模15余1，那么平方模3，模5都余1。
平方模3余1，底数模3余1或2；平方模5余1，底数模5余1或4。
这样所求的数模3模5共有4种可能，再中国剩余定理即可，得模15有4种可能
【 在 ameng 的大作中提到: 】
: 十进制两位数的范围是 10 ~ 99
: 把这个十进制对应到 15 进制，并且也要保证两位数，对应是：
: 10 ~ 69
: ...................
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FROM 123.116.1.*