受过专业训练的人，应该首先考虑无限小数的定义是什么，在此定义下运算规则是什么，后面就会有表示范围和唯一性等问题。由于表示范围是实数，还会涉及实数运算的问题。

实数的无穷小数表示，在直观上的难点，其实和实数的其他表示方法一样，是承认实无穷的概念，即承认一个无穷集合（小数数位、cauchy列、dedekind分割之类）作为一个整体表示一个单个的数。这是实数理解非常反直觉的一点，在历史上实数严格化也远远晚于极限论。在数学专业可能比ε-δ语言理解更难。

无限小数就是这么一个看起来简单其实非平凡的一个东西。很多微积分方面的书在提到无穷小数时，要么规定不能有连续无穷多个0，要么规定不能有连续无穷多个9，也是因为有限小数的无限小数表示法不唯一。要说清楚这个不唯一，其实在理解实数内涵定义后，在极限论下是个平凡结论。不过逻辑上极限论是建立在实数定义之后的。

这也是为什么数学专业的分析入门课教材，不论早一些一开始讲，还是推晚一些后讲，总要把实数论的确界理论、闭集套、cauchy列、有限开覆盖等等一堆定理，结合那本教材采取的实数的构造性定义，绕圈循环证明一遍。这个真打通了，才不会有 0.99…=1.00…=1.0=1/1=2/2=1 的疑惑。

另外还看到有个别教材是先给出公理化实数定义的，然后再从自然数系一步步扩张到实数系构造一个实数公理的模型，最后考虑所有模型等价性之类问题。这种可能叙述更现代一些？适合回过头来理解实数的。

对啊，为什么大家不问 1/1 = 2/2 = 999/999 这个分数表示不唯一的问题呢？因为不涉及无穷直观上比较容易。
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
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: 下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。
: ...................
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