无限循环小数直接以小数形式进行运算的规则没定义，都得转为分数计算。
所以什么1 = 1/3 x 3 = 0.333..x3 = 0.999...之类的"证明"
可以作为面向中小学生的对于正确结论的一个通俗解释，但并不能成为严格证明。
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下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。
先从把问题转为严谨的数学表述开始，通过实数稠密性和阿基米德公理，证明两者间不存在任何实数，进而证明两者是同一个数的不同形式。

https://blog.csdn.net/linyt/article/details/52332753

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PS：如果个人直观感觉0.循环9不等于1，那么我们来构建一个等价的芝诺悖论来直观说明这会产生什么问题。
乌龟在位置w1以1米/秒的速度往前跑，在w1后方9米处的人以10米/秒速度追赶乌龟。
1)人花了9/10=0.9秒跑到位置w1，乌龟此时跑到位置w2，相距1*0.9=0.9米；
2)人花了0.9/10=0.09秒跑到位置w2，乌龟此时跑到位置w3，相距1*0.09=0.09米；
3)人花了0.09/10=0.009秒跑到位置w3，乌龟此时跑到位置w4，相距1*0.009=0.009米；
4).....

累积下来，人追赶乌龟花的总时间t=0.9999999....，即0.循环9。
而小娃娃都知道，人将在9/(10-1)=1秒时追上乌龟。
若t=0.循环9 < 1，即人永远到不了追上乌龟的时刻(1秒)，即人永远追不上乌龟。

请用常识判断一下，人真的永远追不上乌龟吗？
如果觉得荒谬，那么就说明假设不成立，请接受无限小数 0.循环9=1。

认为0.循环9小于1的思想，其实思路就是不自觉地停留在某个很大的位数上，而不是无穷位数。



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修改:Zinux FROM 123.114.92.*
FROM 123.114.92.*

实数的稠密性质又是哪儿来的啊？小学中学好像没学过吧？


【 在 Zinux 的大作中提到: 】
所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。

下面是网上找的一个证明，个人觉得还比较靠谱。
先从把问题转为严谨的数学表述开始，通过实数稠密性和阿基米德公理，证明两者间不存在任何实数，进而证明两者是同一个数的不同形式。

https://blog.csdn.net/linyt/article/details/52332753

[upload=1][/upload]
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FROM 211.143.51.*

不懂，既然循环就是无穷啊，这不等于是循环论证了吗》？


【 在 smezsc 的大作中提到: 】
0.9循环=
  0.9
+0.09
+0.009
+0.0009
+…
无限趋近于1
当到达“无穷”时，就是1
可是这个实际的世界没有什么是连续的
10^-50的step就算连续了
因此当n=10^50时，还是小于1
只有n=∞时才等于1

【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 看不下去啊，啥叫级数？
:
: 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
: ...................
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FROM 211.143.51.*

这还是结论啊，并不是证明过程。



【 在 smezsc 的大作中提到: 】
看到9的循环往前进一位就对了。

【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 不懂，既然循环就是无穷啊，这不等于是循环论证了吗》？
:
: 0.9循环=
: ...................
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FROM 211.143.51.*

提出问题的时候是不是默认是中小学问题？


【 在 Zinux 的大作中提到: 】
越是基础的证明，越不是初等数学能解决的
虽然数学是从直观掰指头计数发展而来，但严谨逻辑推演的现代数学早就已经变得十分抽象。
【 在 lixianghui 的大作中提到: 】
: 实数的稠密性质又是哪儿来的啊？小学中学好像没学过吧？
:
: 所有分数、无限小数的所谓证明都是不严密的，就不要来摆了。
: ...................
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FROM 211.143.51.*