大测目录
大测，就是测三角形法。凡是测算，都以此测彼，而此一彼一不可得测。九章算法多以三测一，唯独勾股章以二测一，则都是三角形。
之所以这里不讲勾股，因为勾股相交，必须是直角，遇到斜角就没办法了。也有将斜角分为两直角的办法，这也是可遇而不可得。
三角形之理，并非勾股可以穷尽，所以不讲勾股。容易用勾股来测量的，是直线和平面。测天则为圆面曲线，这就不是勾股所可以解决的了。
所以有弧矢割圆之法。弧是曲线，弦矢是直线。以弧求弧，无法可得。必须以直线曲弧，相当相准，才可得之。相当相准，是圆径与弧得比率。
而圆径与弧相当相准的比率，自古以来没有准确。古人说径1圆3，但是实际上2径6弦并不是圆。祖冲之说径7圆22，则其外切线也不是圆。
刘徽密率说径50圆157，则又是内弦，也不是圆。有人推算到万万亿以上，然而小损就是内弦，小益就是外切，终究不是圆。
历家以勾股开方辗转商求累时方成一率。然而还是不能离开径1圆3之法，连祖率都嫌麻烦，更何况徽率甚至万万亿以上呢。因此难以实际操作。
现在西法以周天一象限分为半弧，而各取其正半弦。方法是从2径6弦开始，依次求得六宗率，毫无疑问都是度数之正义。其次用三要法，
相分相准，以求各率，得各弧之正半弦。又以其余弧的正弦为余弦，以余弦减半径为矢。弧之外与正弦平行而交于割线，作切线，
以他半径截取弧的一端，而交于切线，作割线与余弦平行，这是余切线；正割一线交于余切线而止，这是余割线；以正弦减半径，这是余矢。
总之，作8线，其弧度分为5400，每一度分有8线，合起来就是43200率。其用法一个三角形中有三角三边，任有其三，可得余三。
任何测候得到的都是弧度分，以此二三弧求彼一弧，先查表此弧之某直线与彼弧之某直线，推算得数，查表可得彼弧之度分，不劳余力，
不费晷刻，为之者劳，用之者逸。
此法相比于勾股开方测圆，非常简单。然而是否有误差呢？
答：有的。可能在其末位，半径设为十万，所差有十万分之一，设千万，则差千万分之一。历家推演至微细以下，率皆弃去，就说它无差了。
因此说此法对于推步术来说农夫之于钉耙工匠之利器。
测天者必须大于他测，故曰大测。其解义分为二卷八线表九十度，分为六卷。
第一卷
因名篇第一
割圆篇第二
表原篇第三
第二卷
表法篇第四
表用篇第五
测平篇第六
因明篇第一
总论三十二条
三角形，形为三边，容为三角地。有平面三角形，有球面三角形。
三角形各以两边容一角，此两边为角形之腰，第三边为角形之底。
各边相向的角称为对角。
角以何为尺度？
一弧之心在交点，引出线为两腰，两腰之间的弧即为此角之弧度。
大测法分圆360度，度分为百分（西历60分），分分为百秒（西历60秒），秒分为百至（西历60）而止。
圈越大，其度分也越大。
如果两弧之分数相等，其圈也相等，则弧也相等。圈不等，则弧也不等，这两个不等的弧称为相似弧。
如果有弧不足90度，那么从其外到90度线的弧，称为余弧、较弧、差弧。
半圈弧为180度。
如果有弧小于半圈，那么从其外到180度线的弧，称为半圈之较弧。
角有二类，直角与斜角。
直角都是90度。
斜角有二类，锐角与钝角。
钝角其度大于象限，锐角其度小于象限。
角之余与弧同理。
如果有两角并在一线上，称之为同方角，合并之等于两直角。
同方两角等于两直角，所以同方两角互为彼此之较。
三角形可以三边相等，可以两边相等，可以三边不等。
如果三角形两腰相等，则底线上两角相等；底上两角等，则两腰亦相等（见几何卷第五）
三角形之三边相等，则三角亦相等。
三角形之角有二类，一为直角三边形，一为斜角三边形。
直角三边形内只有一直角。
直角三边形的直角所对边为弦，两腰名勾股（远西两腰都称为垂线）。
斜角形的角都是斜角。
斜角形有二类，一为锐角，一为钝角。
钝角形只有一个钝角。
锐角形的三角都是锐角。
三角形有二类，一为平面上形，二为球上形。
论平面上三角形 十一条
平面上三角形有三种：一为直线，一为曲线，一为杂线。大测所论都是直线。
所有等角两三变形，其在等角旁之各两腰线相与的比例必然相等，而对等角之边为相似边（几何六卷第四题）
所有两三角形，其角两边之比例相等，则两形为等角形。而各相似边之对角也相等。
（几何六卷第五题，此二题为大测之根本，不用开方，直接以比例得结果，此法至简至大）
三角形的外角与相对的内两角之和相等。
三角形的三角之和等于两直角。
平面上三角形只有一直角或钝角，其余二必为锐角。
三边形内之第三角为前两角的余角。
直角旁的两腰上两方形面积之和与弦上方形面积相等（几何一卷之四七）
如果直角形的两等边有数，则其弦无数可推。如果弦有数，则等边无数可推。
直角三角形的两锐角互为对方的余角。
平边三角形在圆内，其各角之度数都等于其所对弧度数的一半。
平面同底两三角形在圆内，两形之顶连成一四边形，此形内有两对角线。
则此形内的两对角线组成的直角形面积，与四边形各两对边组成的直角形面积之和相等。
其用法为先得五线，以求第六线。
论球上三角形 二十条
所有球上三角形，都用大圆相交之角
大测所用的三角形之各弧必然小于大圆的一半。
球的大圆分球为两平分，离于两极各90度。
如果一个大圆过另一个大圆的极，两大圆必然交为直角。
如果两大圆交为直角，则两大圆必然相互过对方的极。
球上角的度量，必须从两弧各90度而与一象限之弧相交，两处相距之度则为此角之度数。
球上角的两边引出直到相遇，则两弧都成半圆，而形成的两相对角必然相等。
球上三角形有相对同底的三角形，则对角相等，相对三角形的两腰为此三角形两腰的余腰
（初腰不足180度，故后腰为半圈之余）。彼此的同方两角也相等。
球上直角三边形可以有一个直角，可以有两个直角，也可以三个都是直角。
球上三边形如果有一个直角，可以有两锐角，可以有两钝角，也可以有一个钝角一个锐角。
如果球上直角三边形有两锐角，则其对直角的直角三边形有两钝角。
如果球上直角三边形有两锐角，则三弧都小于象限。
如果球上直角三边形有两钝角，则其腰都大于象限，而第三弧必然小于象限。
如果球上直角三边形有一锐角一钝角，则其锐角之相对三角形也有一直角两锐角。
如果球上三边形有多个直角，其所对直角之各弧都为一象限。
如果球上三边形有二直角，如果第三为锐角，则对角之弧小于象限；若为钝角，则大于象限。
球上斜三角形有三类：可以都是锐角，可以都是钝角，可以杂锐钝角。
如果球上斜三边形都是锐角，则其相对三角形有两钝角一锐角。
如果球上斜三边形都是钝角，则其相对三角形有两锐角一钝角。
球上三角形的三角之和大于两直角。
割圆篇第二
总论 二十六条
三角形有六率：三角、三边。测量三角形于六率中先得其三，然后测其余三。
测三角形必须根据同比例法（也称三率法）。所谓同比例指的是四率同比例。
先有三而求第四，故三角形之六率其比例欲定其分数欲明。
三角形的六率比例其中用弧的最难。如何定圆线与直线的比例自古以来没有其法。
问：三角形为什么有弧？
答：球上三角形的三边都是弧，它的三角都是弧角。平面三角形可以测的只有三边，欲测其角非弧不可。
而弧为圆线，无术可测。因此欲测弧必先求其与弧相当之直线。
所谓与弧相当之直线，指的是割圆界而求其直线之分，与弧相当的那条直线。
割圆之直线有四种：第一种叫弦（通弦）；第二种叫半弦，以上都在圆界内；
第三种叫切线，在圆界外；第四种叫割线，在圆界之内外。
所谓弦，指的是圆内的直线，直线的两个端点将圆分为两分。
所有的弦都对两弧，一上一下。
所谓正弦，从弧作垂线到直径上。
半弦有两种，正弦和倒弦。
正半弦是直线在半圆内从弧作垂线到直径上，分半圆为不相等的两分，一大弧、一小弧。
这个半弦，既当小弧，也当大弧。
从圆上一点作两半弦，其一为前半弦，其二为从半弦（又称为余弦、较弦，差弦）
前后两半弦，其能等于半径。（平方和等于半径平方）
两正弦之较与纪限左右距等弧之半弦相等（60度为纪限）。（注：sin(60+a)-sin(a) = sin(60-a)）
所谓倒弦，是余弦与全数之较，本名为矢。（注：1-cos(a)）
矢有二，有大有小。（注： 大矢 2-cos(a） 小矢1-cos(a)）
矢加于余弦等于半径
所谓切线，是从弧之外以半径的端点作垂线，以半径为底线，而交于截弧之弦（此弦为勾股之弦，非弧矢之弦）。
所谓割线，是从圆心过弧的一端而相交于切线。
定割圆之数应当作割圆线之立成表（又名三角形表、度数表，今名大测表）
大测表不超过一象限。
古用弦则须半周。
大测表不止有各弧之各度数，也有其各分数。
作大测表，先定半径为若干分，越多越细。
所有割圆四线，大多都是不尽之数。无论全数不尽即以畸零。法命其分，亦不能尽。
所以大测表不能说没有误差，但所差很小，不到半径全数中之一。假如半径为千万，
表中诸线中，不至差千万分之一分。自一以内或半、或大、或少，不能作到无差，但是误差微乎其微。
表中半径，必用极大之数，最少也要一万以上，或至百万、千万、万万。
定半径的全数，即可求一象限内各弧各度分之半弦，以此半弦求得其切线割线。
所有半径用数少，则差多（如用千，则差千之一，如用万，则差万之一）。
如果想测有分之弧，问半径应定为多少？
答：一象限90度，每度60分，则一象限5400分。又古率圆径之比大略为22/7，则象限弧与半径比为11/7。
今用比例法（就是三率法），以象限11为第一数，以半径7为第二数，以象限5400分为第三数，
求得第四数为3436。所以半径分为3436分，则半径之各分略等于一象限的5400分。
这样所用大数最少一万，与五千相近。此乃可推有分之弧。
如果想用此法推弧分之秒，其象限为324000秒，按照三率法11与7比，等于324000与206182。
其半径细分与象限分秒相等而上必用百万。
表原篇第三
所谓表原，就是作表的原本。没有办法测圆，必须用直线。直线与圆相准不差，又极易发现的，就只有六边一率而已。
古人说径一周三，但这只是六弦，而不是六弧的本数。自此以外，虽然分至百千万亿，仍然还是弦。所以测弧必用弦，
弦越密，则细数越密。其方法仍然是从六边的一准率开始，从此又推得五率。这六率都是相准不差，但是后五率其理难见推求，
因此命名为六宗率。其方法是先定半径为若干数（今用一千万），作圈内六种多边形（都见于几何第四卷），推此六形各等边之数。
得此六数，即为作表的原本。
宗率一 圈内六边等切形，求边的数。
几何原本四卷第十五题。既设半径等于千万，则边的数也是千万
宗率二 圆内切直角方形，求边的数。
几何原本四卷第六言。用勾股法开方得本形的边。以开方得其边数为14142196。
宗率三 圆内切等边三边形，求边的数。
几何原本十三卷第十二题。开方得17320508弱。
宗率四 圆内十边等切形，求边的数。
几何原本十三卷第九题说，以比例分半径，为自分连比例线，其大分就是等边十边形的一边。
（证明过程略）
得乙丙弦为6180340，此为36度之弦。
宗率五 圆内五边等切形，求边的数。
几何十三卷第十题说，圆内五边形的一边平方等于六边等边形之一边与十边等边形之一边的平方和相等。
（证明过程略）
得甲乙弦为11755704弱，此为72度之弦。
宗率六 圆内十五边等切形，求边的数。
几何四卷第十六题说，圆内作一等边三边形，又作一等边五边形，以此两角的第一差弧，就是等边十五边形的一边。
（证明过程略）
得乙戊弦为4158234，此为24度之弦。
表法篇第四
前面得到了六宗率，这次用三要法作表。
要法一 前后两弦，其平方和等于半径平方（图说见本篇总论第十二条）（注：cos(a)^2 + sin(a)^2 = 1）
要法二 有各弧之前后两弦，求倍本弧之正弦（注：已知sin(a)，cos(a)，求sin(2a)，证明部分没看明白）
要法三 各弧之全弦的平方，等于其正弦平方与其矢的平方和。 （注： 全弦平方= sin(a)^2 + (1-cos(a))^2）
用前三要法，则大测表大略可作。又有简法二题，其用法很方便，但未必恒有。
简法一 两正弦之较，与60度左右距等弧之正弦相等（见本卷第二篇）（注：sin(60+a)-sin(a) = sin(60-a)）
简法二 有两弧不等之各正弦，又有其各余弦，而求两弦相加、相减之弧之各正弦。（注: 已知sin(a)，cos(a)，sin(b)，cos(b)，求sin(a+b)，sin(a-b)）
其法有二，一相加，二相减。
相加者，以前弧之正弦乘后弧之余弦，以后弧之正弦乘前弧之余弦，并之为实，以半径为法，而一得两弧相加为总弧之正弦。
（注：sin(a+b)=sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)）
正弦相减者，亦如前法互乘得各数，相减余为实，以半径为法而一，为两弧相减之正弦。
（注：sin(a-b)=sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b)）
有前六宗率为资，有三要法为具（资为材料，具如器械），即可作大测全表。
如前法求得12度弧之正半弦率，而求其相通之他率。
正弦 12 2079117
半之 6 1045285
又半之 3 523360
又半之 1度30' 261769
又半之 0度45' 130896
6度余弧 84 9945219
3度余弧 87 9986573
1度半余弧 88'30 9996573
45分余弧 89'15 9999143
半84度 42 6691306
半之 21 3583679
又半之 10度30’ 1822355
又半之 5度15’ 915016
半87度 43度30' 6883546
又半之 21度45' 3705574
半88度30’44度15' 6977905
(以下数据略)
其余五形，如三边、四边、五边、十边都可以用前法作既毕，这就是大测表得大略全具了。为什么这么说？
先得45分，其次为1度30分，又次为2度15分，如此常越45分而得一率，乃至90度皆然。所少的，是其中的各第1以至44分。
现在要做初度1分以至45分，怎么作？
以45分的半弦130896，用第二第三法半之，得22分30秒之弧，其半弦为65449，又半前弧得11分15秒之弧，其半弦为32724半。
--
FROM 111.9.5.*