查了一下几何学第五定理
5、同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

1812年冬，法国著名数学家拉格朗日感觉自己证明出了第五公设，要在法兰西科学院做一个报告讲一讲。
//这都难倒这大数学家了

勒让德发言完毕，请拉格朗日登台。拉格朗日木然地走上讲台，站在讲桌后，一言不发，只是翻阅笔记，就这样过了好长时间。最后，他抬起头来，注视着听众，用惯常的虚弱嗓音和意大利口音，平静地说，请求大家原谅，自己的证明存在问题。然后，他走下讲台，走出了讲堂。
勒让德在数学上的一大贡献是重写《几何原本》，简化并重新编排了许多命题。他的通俗版本备受人们欢迎。



勒让德的著作修订了多个版本，每个版本都给出一个第五公设证明，每个证明都被数学家挑出毛病。直到第九版，勒让德终于放弃了证明。



勒让德并没有放弃，在第十二版，他又提出一个证明，他确信这个证明是正确的，保留在以后出版的所有版本中。很遗憾，这个证明依然是错的。

数学家提出的第五条公设等价说法还有：


1. 两条平行线之间距离处处相等（等距公设）。
2. 在已知直线同侧与它等距离的点组成一直线。
3. 一直线的垂线和斜线总相交。
4. 三角形的内角和等于两直角（这一命题还可弱化为：存在一个三角形，其内角和等于两直角）。
5. 相似三角形存在。
6. 一四边形若一对对边相等，且与第三边都成直角，则其他两角都是直角。
7. 一四边形若有三个内角为直角，则第四个内角也是直角。
8. 矩形存在。
9. 勾股定理成立。
10 三角形的面积不会都小于一个固定值。
11. 任意给定三个不共线的点，存在一个圆通过这三个点。



【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 现存的各种对勾股定理的证明，不论是《算经》的图证，还是西方传说中的几何证明，都是不完备的伪证。
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