大概明白了，
1.如果只有3个正方形，肯定可以，因为必有一个正方形面积大于，这1个就覆盖了
2.如果只有4个正方形，摆法为每个正方形摆一个角，设4个正方形边长分别为a1、a2、a3、a4，且1>a1>=a2>=a3>=a4（a1>=1的话，a1自己就覆盖了），可以证明a3+a4>=1，也就是最小的2个正方形也可以覆盖一条边。
证法为：
假设a3+a4<1，则(a3+a4)^2<1，所以a3^2+a4^2<1，又由于4个正方形面积和>3，所以a1和a2的面积和>2，则a1^2>1，矛盾。
3.如果只有5个正方形，同样可以证明a3+a4>=1，因为(a3+a4)^2=a3^2+a4^2+2*a3*a4，而a5^2<=a3*a4，所以a5其实没有用
4.如果只有6个正方形，a5^2+a6^2<=2*a3*a4，所以a6其实也没用
5.关键的一步，7个正方形，此时可以先用a4至a7拼成一个正方形。此时有2种可能，一种是a6+a7>a4，拼出来的正方形边长是a6+a7，此时看成是a1,a2,a3,(a6+a7),其中a1,a2,a3也可能小于a6+a7，总之这4个正方形按照大小顺序排列，可以证明最小的2个加起来>=1。另一种可能是a6+a7<=a4，也就是a5,a6,a7都没啥用，也可以证明a3+a4>=1。(这步写的比较粗略，思考过程有点长）
6.扩展到更多正方形，具体拼法是把所有正方形中最小的4个拿出来拼，然后用拼出来正方形再跟其他正方形排序，再用最小的4个去拼，一直重复此步骤，直到还剩4个正方形，最后可以证明这4个正方形中最小的2个边长加起来>=1。（这步还没有细想，感觉应该可以）
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: rt，证明或否定，总面积大于3的有限个正方形一定能覆盖单位正方形
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FROM 117.107.131.*

细节还得想想，也可能整体是错的，权当抛砖引玉
【 在 here080 的大作中提到: 】
: 看起来不错。数学归纳的思路感觉很有戏。
: 可能需要把原命题加强？
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FROM 111.192.96.*

完整证明来了。

前提说明1：下面的A1,A2,A3...An，都是正方形的边长，且按照大小排了序，也就是A1>=A2>=A3...
前提说明2：具体操作方法是，如果正方形个数n为4,7,10,13...，则用最小的4个正方形An,An-1,An-2,An-3去拼一个更大的正方形，4个正方形放4个角，如果An+An-1>An-3，则拼出来的更大正方形边长为An+An-1，否则，拼出来的其实就是An-3。拼出来的正方形放到原来的队列里去排序，再重复这个步骤，一直到最后拼成1个正方形。
如果n不是4,7,10,13...，则忽略掉多余的最小的1个到2个正方形，然后用上面的方法操作，比如n为9，则把A8和A9忽略掉，只用前7个去拼。

按这个方法操作最后拼出来的正方形面积一定大于1，下面是证明过程：
1.首先证明只有4个正方形A1,A2,A3,A4时没问题（证明过程略）
2.然后证明6个正方形也没问题（包含了5个情况），且只需要用到前4个，A5和A6可以忽略（证明过程略）
3.分析第2步的结论，因为A5和A6可忽略，且A5和A6最大也就是都等于A4。也就是说对于任意4个正方形，有此结轮：当4个正方形总面积>3-A4面积x2时，可以用这4个正方形拼成一个面积大于1的正方形。下面要证明的是对于n=7,10,13...时，也有这个结论：总面积>3-最小正方形面积x2时，可以拼出面积大于1的正方形。
4.使用数学归纳法，假设An成立，证明An+3也成立。
只需要分析第一次拼的结果就可以了，An+3时，正方形个数为An+3或An+4或An+5，都是用An,An+1,An+2,An+3，这4个正方形去拼，An+4和An+5忽略
如果An+2 + An+3<=An，则实际拼出的正方形就是An，此时所剩正方形是A1,A2,...An，忽略掉的部分为An+1,An+2...An+5，很容易证明，这5个正方形的面积和是小于An面积x2的，因此结论成立；
如果An+2 + An+3>An，则拼出来的正方形边长为An+2 + An+3，此时，最小所剩的n个正方形中最小正方形边长为An-1或An+2 + An+3，不管哪个都是大于等于An的，而忽略掉的面积为An,An+1,An+2,An+3,An+4,An+5，6个正方形面积和减去留下的正方形面积(An+2 + An+3)^2，这个忽略部分的面积也很容易看出来是小于An面积x2的，因此结论也成立。

以上证明完毕
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: rt，证明或否定，总面积大于3的有限个正方形一定能覆盖单位正方形
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FROM 117.107.131.*

果然你说的2点都用到了，数据归纳法，并且把原命题加强了一些
【 在 here080 的大作中提到: 】
: 看起来不错。数学归纳的思路感觉很有戏。
: 可能需要把原命题加强？
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FROM 117.107.131.*

参考方案

只需讨论所有正方形边长均<1的情形

将正方形从大到小排列，让它们的上边缘对齐到一条水平线上
依次取出若干个，直到它们的总水平长度≥1
如此得到了一个像有锯齿的梯形一样的图形，设最右侧的正方形边长为A1

那么如果用这个图形来覆盖单位正方形，由于总长度≥1，高度最窄处为A1，所以至少可以覆盖单位正方形高为A1的一截

依次继续选出第二组总长度≥1的正方形，同理设最右侧的正方形边长为A2
如此继续，直到剩余部分不足以构成总长度≥1的图形，这部分图形（如有）舍弃不用

下面来证明S{An}≥1，如此便可覆盖整个单位正方形

考虑第一组图形
它的总长度必然<1+A1，否则在A1前一个正方形就已满足总长度≥1
它的高度最宽处是第一个正方形的边长，根据假设，它<1
于是它的面积≤(1+A1)*1，或者说是1+A1

考虑第二组图形
同理它的总长度必然<1+A2
它的高度最宽处是第一个正方形的边长，这个边长≤上一组最后一个边长，也就是A1
于是它的面积≤(1+A2)*A1，或者说是A1+A1*A2，放缩一下，它更是<A1+A2

以此类推，最后一组有效图形的面积<An-1 + An
最后剩余舍弃的图形，面积<An * 1，也即An

将上面所有面积相加，可知
1+2S{An} > 所有正方形总面积 ≥ 3

于是S{An}>1，可覆盖单位正方形，证毕
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: rt，证明或否定，总面积大于3的有限个正方形一定能覆盖单位正方形
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FROM 111.205.43.*