第一题大概想了一下思路：
n到2n两两求和可以覆盖2n+1到4n-1
因为n足够大（>=100)，所以这些区间上至少有7个完全平方数。
取中间三个连续ABC，其中A为奇数，则：
m= (A+B-C)/2
于是：
m, A-m, C-A+m, (B-C+A-m=m)
这3个数两两和为完全平方数。

细节上还需要证明m和C-A+m在n到2n上
【 在 liushuoshu (刘硕鼠) 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload]
: ※ 修改:·liushuoshu 于 Jul 21 14:16:10 2021 修改本文·[FROM: 111.205.43.*]
: ※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 111.205.43.*]
: ...................
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修改:liushuoshu FROM 111.205.43.*
FROM 76.126.252.*

不对，至少有5个。这样应该够了。
对于偶数k (k-1)^2, k^2, (k+1)^2是三个连续完全平方数。
m = (k^2 - 4k)/2, 所以m + m + 1 > (k-2)^2
A-m = (k^2 + 2)/2 肯定在范围内
x = C-A+m = (k^2 + 4k)/2, 所以 x + x -1 < (k + 2)^2

如果是偶奇偶奇偶5个连续平方数则取中间3个得到的结果肯定在范围内。

如果是奇偶奇偶奇5个连续平方数则需要证明头部和尾部必然有一个不会超范围的。
可以证明如果出现这种情况，只能是最开始的5个完全平方数：
225 256 289 324 361
取ABC为289 324 361可以得到x为198

这样就完全证明了
【 在 here080 (hero080) 的大作中提到: 】
: 标  题: Re: IMO 2021
: 发信站: 水木社区 (Wed Jul 21 15:00:44 2021), 站内
:
: 好像过于乐观了。n很小时有可能只有4个完全平方数
: 【 在 here080 (hero080) 的大作中提到: 】
: : 标  题: Re: IMO 2021
: : 发信站: 水木社区 (Wed Jul 21 14:51:35 2021), 站内
: :
: : 第一题大概想了一下思路：
: : n到2n两两求和可以覆盖2n+1到4n-1
: : 因为n足够大（>=100)，所以这些区间上至少有7个完全平方数。
: : 取中间三个连续ABC，其中A为奇数，则：
: : m= (A+B-C)/2
: : 于是：
: : m, A-m, C-A+m, (B-C+A-m=m)
: : 这3个数两两和为完全平方数。
: :
: : 细节上还需要证明m和C-A+m在n到2n上
: : 【 在 liushuoshu (刘硕鼠) 的大作中提到: 】
: : : [upload=1][/upload]
: : : ※ 修改:·liushuoshu 于 Jul 21 14:16:10 2021 修改本文·[FROM: 111.205.43.*]
: : : ※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 111.205.43.*]
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: : ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 76.126.252.*]
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: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 76.126.252.*]
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FROM 76.126.252.*

f(k+1)=f(k)+1 怎么来的？
【 在 here080 的大作中提到: 】
: 哈哈，一觉醒来得到一个第5题的很精妙的解法。
: 在第k步时考虑所有小于k的数的分布，定义他们之间的间隔的个数为f(k)
: 其中f(1) = 0, f(2) = 1
: ...................
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FROM 111.199.188.*

要不你再具体说下f的定义？感觉理解的不一样
【 在 here080 的大作中提到: 】
: 在一堆小小小小中间插入了一个“小”（k vs k+1)，而且这个“小”的两边都不是小
:
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FROM 111.199.188.*

懂了，赞！
【 在 here080 的大作中提到: 】
: 严格地说就是：
: f(k) = k - 小小相邻的个数
:
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FROM 111.199.188.*