- 主题:请教一个数论题目
设x,y是正整数，求证x^2+(2y)^2和y^2+(2x)^2不可能同时是平方数
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修改:gtgtjing FROM 123.113.85.*
FROM 123.113.85.*
deepseek有答案。对第1个方程，视为毕达哥拉斯三元组，存在互质且一奇一偶的正整数m,n,使得x=m^2-n^2;y=mn;y是偶数；对第2个方程，存在互质且一奇一偶的正整数p,q,使得y=p^2-q^2;x=pq;y是奇数；所以，y不能既为偶数，又为奇数，第一和第二不能同时存在。
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FROM 223.72.56.*
chatgpt 推理挺好，前提是我给他说了思路
证明思路， 如果x^2+(2y)^2 = a^2, (2x)^2+y^2=b^2，两者相减，得到
3(x^2-y^2)=b^2-a^2，如果3|a, 3|b，那么可以进行递减，最后一定存在一个最小的x, y
都不能被3整除，且3(x^2-y^2)=b^2-a^2
这是我喂给它的，反复了两次，给出了正确答案。
x^2+y^2=a^2(mod 3 )
说明3|x or 3|y，否则 x^2+y^2=2(mod 3) 不成立
不妨令3|x
那么 y^2=a^2=b^2(mod 9), 所以9|3(x^2-y^2), 3|x^2-y^2
于是3|y
这样可以用无限递减法来反证了。
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打个补丁 5(x^2+y^2)=a^b+b^2
9|5y^2-(a^2+b^2) 9|3y^2 3|y
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 设x,y是正整数，求证x^2+(2y)^2和y^2+(2x)^2不可能同时是平方数
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修改:iwannabe FROM 119.139.196.*
FROM 119.139.196.*
ds这不是胡扯蛋吗，第一个方程存在一组这样的解又不是所有解都必须长这样
【 在 airbusforu 的大作中提到: 】
: deepseek有答案。对第1个方程，视为毕达哥拉斯三元组，存在互质且一奇一偶的正整数m,n,使得x=m^2-n^2;y=mn;y是偶数；对第2个方程，存在互质且一奇一偶的正整数p,q,使得y=p^2-q^2;x=pq;y是奇数；所以，y不能既为偶数，又为奇数，第一和第二不能同时存在。
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FROM 114.254.2.*
这个我也想过，但是还可以a^2，b^2都是模3余1的，x^2和y^2一个模3余1另一个被3整除
这样至少没有明显矛盾
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: chatgpt 推理挺好，前提是我给他说了思路
: 证明思路， 如果x^2+(2y)^2 = a^2, (2x)^2+y^2=b^2，两者相减，得到
: 3(x^2-y^2)=b^2-a^2，如果3|a, 3|b，那么可以进行递减，最后一定存在一个最小的x, y
: ...................
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FROM 114.254.2.*
看起来是，
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 这个我也想过，但是还可以a^2，b^2都是模3余1的，x^2和y^2一个模3余1另一个被3整
: 除
: 这样至少没有明显矛盾
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FROM 119.139.196.*
md，chatgpt就像个民科，指出它的逻辑错误，拼命跟我掰扯
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 这个我也想过，但是还可以a^2，b^2都是模3余1的，x^2和y^2一个模3余1另一个被3整
: 除
: 这样至少没有明显矛盾
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FROM 119.139.196.*
x^2+y^2=a^2(mod 3 )
说明3|x or 3|y，否则 x^2+y^2=2(mod 3) 不成立
不妨令3|x
那么 y^2=a^2=b^2(mod 9),
另外，5(x^2+y^2)=a^b+b^2
9|5y^2-(a^2+b^2) 9|3y^2 所以3|y
用无穷递减法可以反证
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 设x,y是正整数，求证x^2+(2y)^2和y^2+(2x)^2不可能同时是平方数
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FROM 119.139.196.*
y^2=a^2=b^2(mod 9)
这个有问题
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: x^2+y^2=a^2(mod 3 )
: 说明3|x or 3|y，否则 x^2+y^2=2(mod 3) 不成立
: 不妨令3|x
: ...................
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FROM 114.254.2.*