拿我自己的经历来说吧：

我家穷，没钱买课外书或者上补习班。但是我小学的时候自学了行列式和矩阵，初中的时候自学了微积分，经常拿导数求极值，高中的时候自学量子物理，大学里的有机、无机、结构化学。当我初中的时候用行列式证明三点共线，老师看到我的作业十分惊讶。当我小学三四年级的时候自学2进制，我真的不知道它有什么用，也不知道有一天我会成为一个程序员。

但这没有用。学数学贵在两点： 专注和持之以恒。可以说我还没入门，就放弃了。数学的入门课是基础的数学分析和抽象代数，从一点点的写证明开始，从在大脑里把抽象的数学结构建立起联系开始。用我老师的话说，在那之前的都叫算术，不是数学。所以每当我听见一个非数学专业的人自诩中学的时候数学好，我都斥之一笑，不屑于反驳。 只有一个人在学完集合论并读完数学博士之后才有机会去回头看近百年的数学发展并讨论数学哲学，所以我不建议去给小学生灌输所谓的数学思想、数学哲学，对他们来说那都是空话，像口号一样。

我也是有孩子人。我希望我的孩子自由自在的去做他想的事情。他想看什么样的书，他就去看好了。反正他什么都不知道，多看一些多学一些总是好的。学问不分高下。如果有一天他真的想去学数学，那么即使是从40岁再开始也不算晚，只是可能很难有所成就罢了，但是糊口还是够的。最差的情况是：小时候经历太多学习挫折，导致他从此厌恶数学，疲于应付。这种是很难扭转的。

还是回到二进制的例子，可能最大的好处就是它一下子就成了我骨子里的东西，就像你问我：“你妈是谁？你爸是谁？你为什么知道你妈是谁妈，你爸是你爸？”。我会茫然不知道怎么回答。我觉得多给孩子暴露一些这样的概念是好的，这有助于他将来去理解这些概念背后的共性。就像我们学数学的时候，书上每引进一些新的概念，都会适当的举一些例子来说明。比如当讲到线性空间的时候，就会举例n维向量或者rank=n的矩阵。例子是多多益善的。而这些例子恰恰就是在中学和小学阶段可以去大量接触和学习的。比如平面直角坐标系，正弦函数作为周期性函数的例子，复数的基本运算。

我觉得真正有用的是好的学习习惯。比如勤思考，勤动手，勤做笔记，温故而知新的习惯，而不是考完试就撕书。环境也是很重要的，当他遇到做不出来的题是时候，他需要有人指点他，需要与人交流。当他做完后，他也需要去和别人的答案比较，举一反三，加深理解。所以越往后走，学校越重要。

【 在 fellowwheel 的大作中提到: 】
: 或者推荐一本书，谢谢！

没有一本书是最好的书。多读书总是好的。读的多了自己就会鉴别什么是好什么是差。现在不比20年前，现在课外读物可以说非常非常的丰富，图书的种类远远多于90年代。我唯一的心得就是：读大家的作品。比如我小学的时候读过的影响最深的一本科普书就是《物理学的进化》，爱因斯坦合著。真的是一场特别棒的心灵旅行。计算机的书就要读名著，作者一定要拿过图灵奖（这其中很多人也都是数学家）。这些人在方向性的问题上无比的正确，能让新人少走弯路，把精力花在更有价值的方向上。

我再举个例子：前几天我看Knuth的一个讲座，他介绍算法分析的时候举个例子， 一个无序的数值，找出最大的元素是哪个。如何计算执行的过程中那个用于存放最大值的变量平均需要改变多少次？当他提出这个问题后，我按下暂停键，花了几分钟很快就自己计算出了答案。但是我当我继续往下看的时候，发现他完全走到另一个方向去了。他把这个问题变得无比复杂然后把特征函数都给拎出来了。然后我才明白我跟他的区别：我看见一个问题，解决一个问题。他看见一个问题，解决一类问题。我做好当前的事情，他一边做事，一边给自己挖坑。而且，我发现这种差别在中学生中变得愈发的明显。一些人一头扎进了平面几何的辅助线技巧中，而这些最终真的没什么用，因为它很难被通用化。而某些学习成绩普通偏上的孩子，反而能有更好的成就。



【 在 fellowwheel 的大作中提到: 】
: 或者推荐一本书，谢谢！
: 发自「今日水木 on ANA-AN00」
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