- 主题:怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
无穷和极限是两个概念，我们经常把无穷和极限联系在一起，但是在讲的时候这两个概念要分开阐述，否则就会让听的人一脑浆糊。无穷是一个趋势，极限是一个精确值。具体的定义可以参考高数中的定义，这样听的人会比较清晰。
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不断添加9的过程是无穷的过程，等于1是极限值。数学中还有一个实数致密性定理，也就是说数字是连续的不是离散的，任意两个实数之间，无论这两个数之间距离多么小，只要这两个数字不相等则这两字之间就存在无数个数字。假如0.9的循环不等于1，则假设之间存在某个数介于他们之间，假定这个数字是a，则总会找到一个0.9后面加N个9使得这个数字大于a，所以假设不成立，即.0.9循环等于1.
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【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
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: 所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
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关于三分之一等于0.3的循环，这个是小学生的证明方法，很不严谨，这就跟鸡生蛋蛋生鸡自证一样，首先得先证明1/3就等于0.3的循环，这比证明0.9的循环等于1都难。
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【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果理解不了，说明数学天赋有限。不用强行解释，让他接受就行。
: 比如0.9的循环=1这件事，解释起来很简单，1/3=0.3的循环，0.3的循环x3=1/3*3=1，如果这个理解不了，那也不用理解了。
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如果这么说的话，那用1/3等于0.3的循环，然后再用0.3的循环乘以3得0.9的循环，然后还得证明0.3的循环乘以3等于0.9的循环，这不是脱裤子放屁多此一举吗，直接用1除以1得0.9的循环多好，一步到位。说了这个证明是非常不严谨的，就是把要证明的题偷换了一张脸，然后用这张偷换的脸来证明原来的脸，鸡生蛋蛋生鸡的自圆其说。0.9的循环本质上就是实数致密性原理，这也是数字基本原理之一，只要证明0.9的循环和1之间不存在其他数字，就说明这两个数是一个数，否则他们之间会有无数个数，而这是可以用反证法证明的假命题。
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【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果连1/3=0.3的循环都理解不了，那么就不用学了。
: 小学中学都不会去证明1/3=0.3的循环。
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1/3等于0.3的循环和0.9的循环等于1一样，都是普通人的认知，之所以大部分人不能理解，或者更准确的说不认为0.9的循环等于1，是因为从小教学中没有将0.9的循环等于1纳入低年级教学体系，而1/3等于0.3的循环都接受，也是受教育的结果，只是知道并不道为什么，以上两个都是同一个问题的两张皮而已。正如费曼所说人为什么会在冰面上容易滑倒，大部分人都将冰面很滑作为原因解释，但是这不应该是原理，冰面为什么很滑？因为压力导致冰在接触面出现极少量的融化，接着又会问为什么其他固体压力下不能融化，因为水在结冰后体积会增加，所以容易被压缩，那么为什么水结冰体积会增加，因为液态水有氢离子和氢氧离子作用，分子间作用力更紧密，结冰形成晶体，晶体分子排列规则破坏了液态水的结构体积膨胀。原理和现象是两个维度，用现象解释另一种现象是不严谨的。
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【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 如果连1/3=0.3的循环都理解不了，那么就不用学了。
: 小学中学都不会去证明1/3=0.3的循环。
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FROM 117.133.66.*
估计你是没仔细看我回帖，或者就没理解我回帖的内涵。
大白话就是说：你不能用同一种现象说明这个现象的原理。
你得到1/3=0.3的循环无非就是用除法不停地余1，而1/1何尝不能用除法不停地上9余1呢，说了这是不严谨的，你的除法只能列到有限个，后面无限个是大脑想象应该是这样下去的，你怎么知道0.3的循环和1/3之间不存在其他数呢，但是这个想象需要证明成立的，这下一步的证明才是原理，这需要严谨的证明。
【 在 drifter777 的大作中提到: 】
: 你这脑回路就不要学数学了吧
: 1=0.9的循环是要证明的题目
: 1/3=0.3的循环，这个是能够轻松理解的，而且学分数得时候肯定教，如果这都理解不了，直接辍学吧。
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FROM 202.108.199.*
离散型和连续型的区别，没有矛盾。
虚数
【 在 funme 的大作中提到: 】
: 在实数范围内这么讲，如果是整数范围却又明显不成立，是不是有点小矛盾， 8 和9 之间插入不了任何整数，那么按照整数的理解 8 和9相等。
: 我只是好奇大家这么讨论是不是默认虚数。
: 另外可不可以定义0.99（无穷循环）8 ，也即0.99*8 这样一个数
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FROM 202.108.199.*
越往高处学习，会发现越是近似，反而中小学那些才是完美理想化的。
到实际应用上绝大部分都是近似，数值模拟也是用的步长积分，用有限个近似无限个。
【 在 flowkiss 的大作中提到: 】
: 我觉得0.9的循环和1从概念上讲不一样，但是从数值上来讲由于差别是无穷小，所以在应用上没有任何问题。
: 但是硬说是相等，我觉得不严格，1/3和0.3333....在概念上也不同
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FROM 202.108.199.*
哈哈，你这个悖论直接成功的将层主迷惑住了。
(1,2)真包含于(1,3)，不等同于（1,3）的数比（1,2）之间的多。
这就好比偶数真包含于整数，奇数真包含于整数，然后说偶数或者奇数比整数少一个道理。
有限数量才能比较大小，无限是没有具体个数的，因此不能比较大小。
lixianghui的意思是按照映射法则f，每一个x都对应一个y，如果这个函数图像是单调的话，则x和y数量是相等的，当然这里面也有个不合理的地方，就是无穷多个之间是不能比较多少的。比如y=lnx，（或x=a^y），虽然x>0的范围，y是R，但是每一个x和y都是一一对应的。
【 在 Nordahl 的大作中提到: 】
: 讲到集合，(1,2)真包含于(1,3)。高中阶段，从理论上证明了区间（1,3）之间的数比区间（1,2）之间多。
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FROM 202.108.199.*
你这命题本身就是错的，这中间加不了无限个0.
【 在 kobe24Hero 的大作中提到: 】
: 0.000（无限个0）1等于0吗？
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FROM 202.108.199.*