圆上任意取三个点，圆心在三角形内，请问这样的概率有多大？

水木社区手机版

主题:圆上任意取三个点，圆心在三角形内，请问这样的概率有多大？
楼主|qxinchun|2025-11-28 09:27:58|只看此ID
--
FROM 125.35.5.*
1楼|wenwenk|2025-11-28 10:35:01|只看此ID
任意取圆上两点AB，分别与圆心连线，交对面圆上两点A'B',第3点只要落于A'B'间，圆心必位于三角形内。这样子问题就简化为圆上任取两点，对应的弧长占圆的周长的比例，这个比例最低无限趋近于0，最高是1/2,不算圆心落在三角形边上的情况，应该是无限趋近（0+1/2）/2=1/4吧。

【在 qxinchun 的大作中提到: 】
--
修改:wenwenk FROM 183.173.73.*
FROM 183.173.73.*
2楼|Elale|2025-11-28 15:32:20|只看此ID
圆心在三角形内,等价于锐角三角形，等价于三个点不在同一个半圆弧内
= 1 - 圆上三个点在同一个半圆弧内的概率

而圆上n个点在同一个半圆弧内的概率有通式p=n*1/2^(n-1) (具体搜索“圆形水池四只鸭子在同一个半圆里，概率有多大？”）

n=3时，p = 3*1/2^2 = 3/4

于是，答案 = 1/4

【在 qxinchun 的大作中提到: 】
--
FROM 167.220.233.*

BYR-Team©2010. KBS Dev-Team©2011 登录完整版