x

怎么证明最小值能取到
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FROM 180.162.230.*

能否请使用您谈到的这些理论，把帖中的题做出来？
【 在 AGust2022 的大作中提到: 】
: f(x)'=0,有极值，若f(x0)<f(x0±dx)，即为最小值。
:
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FROM 180.162.230.*

根据函数极值概念，有：

f'(x)=a/x - x + b;  f'=0时有极值。

即a/x-x+b=0时，x解为极值点。

有x12=b/2 ±sqrt(b*b + 4a)/2

应有Δ≥0. 即b*b+4a>=0。有a>=-b*b/4.

特别地，考虑Δ=0时，有 a=-b*b/4，此时，x1=x2=b/2. <1>

则f(x)=f(b/2)=aln(b/2)-b*b/8+b*b/2=-(b*b/4)*(ln(b/2)-3/2).

由题设，f(b/2)>0，即ln(b/2)<3/2，b/2<exp(3/2),b<2*exp(3/2).

<1>中，a=-b*b/4 > -[(2*exp(3/2)*(2*exp(3/2))]/4=-[4*exp(3)]/4=-exp(3).


注：极值判别，x=b/2时，判别极值方法。

x=(b/2)*(1-δ)时，
f'{(b/2)(1-δ)} = a/[(b/2)*(1-δ)]- (b/2)*(1-δ）+ b
          = (-b*b/4)*(2/b)(1+δ') - (b/2)(1-δ) + b
          = -(b/2)*(1+δ')-(b/2)*(1-δ) + b
          = -(b/2)*(2+δ'-δ)+b <0.

同理，f'{(b/2)(1+δ)}>0.
函数有极小值。


【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 标  题: Re: 函数恒成立
: 发信站: 水木社区 (Wed Jan  4 10:46:20 2023), 站内
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: 能否请使用您谈到的这些理论，把帖中的题做出来？
: 【 在 AGust2022 的大作中提到: 】
: : f(x)'=0,有极值，若f(x0)<f(x0±dx)，即为最小值。
: :
:
: --
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: ※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 180.162.230.*]
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修改:AGust2022 FROM 112.10.213.*
FROM 112.10.213.*

导数有零点，且导数在零点左邻域＜0，且在右邻域＞0，那么这个零点就是原函数的极小值点。
f'(x)=a/x -x + b=0，
所以极小值点要存在，必须 b^2+4a＞0，所以 a＜0
解得极小值点为 x0=[b-sqrt(b^2+4a)]/2

又f(x)定义域为 x＞0，所以 b＞0

当 a 固定时，可以看出f(x)的极小值随 b 增大而增大，所以 b 趋于 sqrt(-4a) 时f(x)的极小值趋于最小，所以
f(x0)＞f(sqrt(-4a)/2)≥0
a≥-e^3

“f(x)的极小值随 b 增大而增大”可以直观地看，a固定时 y=alnx-0.5x^2 是个单调减函数，加上一个y=bx之后，会在y轴与直线y=bx之间被向上挤弯。显然b越大，向上弯得越厉害，转折点也越高。
或者简单证明：设 f1(x)=alnx-0.5x^2+b1x，f2(x)=alnx-0.5x^2+b2x，
且b1＜b2，f1的极小值点为 x1，f2的为 x2，
容易看出 x2＜x1；所以
f2(x2)＞f1(x2)＞f1(x1)



可以取等号，因为设 f1(x)=alnx - 0.5*x^2 + sqrt(-4a)x，显然 f1(x) 是单调减函数。
且有 f1[sqrt(-4a)/2]=0

对任意 b＞sqrt(-4a)，存在极小值且有 x0＜sqrt(-4a)/2，
f(x0)=f1(x0)+[b-sqrt(-4a)]*x0 ＞ f1(x0) ＞ f1[sqrt(-4a)/2]=0


【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: x[upload=1][/upload]
: 怎么证明最小值能取到
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修改:laofu FROM 120.229.69.*
FROM 120.229.69.*

【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 标  题: Re: 函数恒成立
: 发信站: 水木社区 (Thu Jan  5 10:23:15 2023), 站内
:
: 两个漏洞：
: 1、f'=0 时不一定有极值，还要f'在零点左右邻域变号才有极值，如果左右邻域同好就没有极值。比如都＞0，那么f在左邻域上是个增函数、右邻域上也是个增函数，这个0点是拐点但不是极值点。
有道理，可以将补叙中的极值判别说明提前，且排除驻点。
:
: 2、要先证明 b 越小 f 的极小值越小，才能用 b^2=-4a 代进去算。
这里值得深究。

从f'性态看，取Δ=0，是f'=0的重根态。
更正1的补叙，按x1.2=b/2讨论，f'[x1.2(1±δ）]的分析结果应该均<0。
说明Δ=0，左右极值点退化为单一驻点，且f(x1)=f(x2)=0。

再讨论根式条件，和b对f的影响，分析x1,2=[b±sqrt(Δ)]/2的非重根特性，
有：左根为极小值，右根为极大值。

所以，a为下确界，且可以取极限，采用b+δ方法，破坏重根条件，使双极值条件存在，且有左极小值的单调性保证极小值>0。
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: 【 在 AGust2022 的大作中提到: 】
: :
: : 根据函数极值概念，有：
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: : f'(x)=a/x - x + b;  f'=0时有极值。
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: : 即a/x-x+b=0时，x解为极值点。
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: : 有x12=b/2 ±sqrt(b*b + 4a)/2
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: : 应有Δ≥0. 即b*b+4a>=0。有a>=-b*b/4.
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: : 特别地，考虑Δ=0时，有 a=-b*b/4，此时，x1=x2=b/2. <1>
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: : 则f(x)=f(b/2)=aln(b/2)-b*b/8+b*b/2=-(b*b/4)*(ln(b/2)-3/2).
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: : 由题设，f(b/2)>0，即ln(b/2)<3/2，b/2<exp(3/2),b<2*exp(3/2).
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: : <1>中，a=-b*b/4 > -[(2*exp(3/2)*(2*exp(3/2))]/4=-[4*exp(3)]/4=-exp(3).
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: : 注：极值判别，x=b/2时，判别极值方法。
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: : x=(b/2)*(1-δ)时，
: : f'{(b/2)(1-δ)} = a/[(b/2)*(1-δ)]- (b/2)*(1-δ）+ b
: :           = (-b*b/4)*(2/b)(1+δ') - (b/2)(1-δ) + b
: :           = -(b/2)*(1+δ')-(b/2)*(1-δ) + b
: :           = -(b/2)*(2+δ'-δ)+b <0.
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: : 同理，f'{(b/2)(1+δ)}>0.
: : 函数有极小值。
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:                      绕树三匝，无枝可依
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: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 120.229.69.*]
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FROM 112.10.213.*