- 主题:请问这道取火柴题怎么解？
前几天版上有人发过的试卷中的一道题，还没有版友给出解答，恳请大家指点，题目如下：
有2022根火柴，甲乙两人轮流取，每次只能取1、3、4、7根，谁取最后一根谁输，甲先取。他要想保证获胜，第一次应该取几根？（写出所有可能）
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请问 8k 的这个8是怎么得出来的？ 为何要确保没回合拿的合计数是8？ 因为取的可能性是1、3、4、7，如果第一人取了3根，那么另一个人无论如何都无法使得合计数为8，所以8这个数有什么意义么？
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 这题甲不能保证每轮（甲乙各取一次）取走固定的数量，不知道有没有简单的方法。笨办法是从剩余1根开始，能找出来当剩余数量为 1+8k 或者 3+8k 这样的形式时，先取的必输。所以甲第一轮要取3根。
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为什么说8是循环节？
【 在 outhear 的大作中提到: 】
: 可以发现循环节是8，而2022=6+8*252, 所以原题等价于6根火柴的情况下甲先取。
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“先手取完后留8根可以保证后手不能直接赢”这个结论怎么出来的？为什么是留8根？
一个人最多取7根，那么两个人合在一起最多就是取14根。难道不是留14根才能确保后手不能直接赢么？
【 在 fatum 的大作中提到: 】
: 最多可以取7根，先手取完后留8根可以保证后手不能直接赢，所以7+1=8是循环节（不理解这个名称的意义，但感觉这个游戏就是这么玩的）
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SG值序列，看不懂了。。。。
【 在 GGGGDDDDK 的大作中提到: 】
: SG值序列：
: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
: 0 1 0 1 2 3 2 3 0 1 0 1 ...
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谢谢指点，既然“至此可以判断1+8k和3+8k为必败，用数学归纳法很容易证明。”
那么是不是说，先手的人可以拿1个，也可以拿3个，都可以保证自己必胜？
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 我说的是"没法"保证每回合的合计数，如果能保证问题就简单了。
: 我不知道有没有简单的办法能直接从1347推出“8”来，这里8=1+7是凑巧的。
: 笨方法，从1开始逐个确定必胜/必败局面，如果从某个数字能一步转移到某个已知的必败局面，那么这个数字对应的就是必胜局面；反之，如果一步转移只能到已知的必胜局面，则对应的是必败。
: ...................
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2022=252*8+1+5。所以如果先手拿了5根，剩下的局面也可以是 252*8+1 ，依然可以保证必胜，也就是说答案有两种，先取5根，或者先取3根都行？
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 不是，先手的拿完之后如果能变成1+8k或3+8k就必胜，这题里先手拿3根之后=2019=8*252+3，留下必败局面给乙，甲必胜;但只拿1根后=8*252+5不是必败局面。
: 如果起始是2020，就是你说的拿1根或3根。
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感觉你这个做法有道理，但是还不算太严谨。2000是可以被8和4整除，但是可以再多算一点，2016也可以被8和4整除，所以应该是让2016根去作为 乙先，甲后的循环根数，这样就剩下6根。 因为最后要给乙留下1根或3根才能确保甲获胜，又由于甲只能拿1,3,4,7这四种根数，所以甲第一次就只能拿3根，使得最后可以剩下3根留给乙。
【 在 tengshiwei 的大作中提到: 】
: 甲拿3根是怎么算的呢。先江2022分成2000+22，2000可以被8和4整除，所以，乙开始拿、甲拿作为一个循环，甲凑4，8就行。最后剩22根，甲第一次可能拿1、3、4、7根，也就是可能会剩下21、19、18、15，因为最后一轮甲拿完一定要给乙剩1根或者3根，1、4、7凑8；3凑6或者10，感觉19最合适，先试算了19
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro Max」
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