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- 主题:来一道几何题
- 锐角△ABC AB≠AC I为内心 O为外心 圆I与BC切于D点
M和N分别为弧BC和弧BAC中点 NI交圆O于另一点E 过I做BC平行线交MN于F
求证：EDF三点共线
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FROM 111.194.201.* - 由垂径定理MN为直径，MN⊥BC，又IF//BC => IF⊥MN。又ME⊥NE，所以IFME四点共圆。
要证EDF共线，只要证明∠IFD=∠IFE，而∠IFE=∠IME=∠ANE。
只要证明∠IFD=∠ANE。
另一方面，ID/IA=IH/IA=sin(A/2), IF/NA=MI/MN=BM/MN=sin(A/2),
ID/IA=IF/NA,∠FID=∠NAI=RT∠ => ∠IFD=∠ANE。
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 锐角△ABC AB≠AC I为内心 O为外心 圆I与BC切于D点
: M和N分别为弧BC和弧BAC中点 NI交圆O于另一点E 过I做BC平行线交MN于F
: 求证：EDF三点共线
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FROM 114.93.60.168 - 连接OI并延长与圆O交于P和Q两点
显然有MN为圆O直径且MN⊥BC 即MN∥ID
设圆O半径为R 圆I半径为r IO长度为d
∵MN∥ID
∴∠MID=∠MNI
由圆幂定理 以及欧拉定理
NI*IE=PI*QI=（R+d）（R-d）=2Rr=MN*ID
∴△MNI∽△IDE
∴∠IED=∠NMI=∠FMI
由IF∥BC 以及MN为圆O直径 易知
FIEM四点共圆
∴∠IEF=∠FMI
∴∠IED=∠IEF
∴EDF三点共线
QED
你这个证明本质上跟欧拉定理是一样的
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 由垂径定理MN为直径，MN⊥BC，又IF//BC => IF⊥MN。又ME⊥NE，所以IFME四点共圆。
: 要证EDF共线，只要证明∠IFD=∠IFE，而∠IFE=∠IME=∠ANE。
: 只要证明∠IFD=∠ANE。
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.194.201.*
FROM 111.194.201.* - 用三角可以暴力计算。不妨设c>b。
GD=(a+c-b)/2-a/2=(c-b)/2, tan∠IFD=ID/GD=2r/(c-b)。
IA=r/sin(A/2), NA=2R*sin∠NMA=2R*sin(90-1/2A-B)=2R*cos(1/2A+B)。
tan∠INA=IA/NA=r/(sin(A/2)*2R*cos(1/2A+B)) = 2r/(2R*(sin(A+B)-sinB)=2r/(c-b)。
所以∠IFE=∠IME=∠INA=∠IFD。
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 连接OI并延长与圆O交于P和Q两点
: 显然有MN为圆O直径且MN⊥BC 即MN∥ID
: 设圆O半径为R 圆I半径为r 线段ID长度为d
: ...................
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FROM 114.93.60.168 - AF AE这两条线不普通 这俩是∠BAC里的两条等角线
E点就是A-伪内切圆切点
AF这条线跟圆I的交点是点D关于点I的对称点（对径点）
AF跟BC的交点是点D关于MN的对称点（A侧旁切圆在BC上的切点）
关于这两条线还有n多性质
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 用三角可以暴力计算。不妨设c>b。
: GD=(a+c-b)/2-a/2=(c-b)/2, tan∠IFD=ID/GD=2r/(c-b)。
: IA=r/sin(A/2), NA=2R*sin∠NMA=2R*sin(90-1/2A-B)=2R*cos(1/2A+B)。
: ...................
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FROM 111.194.201.*