图中D就是S，标错了。
∠NDT=弧MN-弧MT=弧AN-弧MT=∠NIaA
D、I、T、Ia四点共圆,
DN/DI*IA1/A1Ia*IaT/TN=DN/TN*IaT/DI*IA1/A1Ia= DN/TN*A1Ia/DA1*IA1/A1Ia=DN/TN*IA1/DA1=DIa/IT*IA1/DA1=DA1/IA1*IA1/DA1=1（或DN/TN*IA1/DA1=sin∠DTN/sin∠NDT*sin∠NDT/sin∠DIA1=1）。
所以D、A1、T共线。


【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: △ABC 外接圆为圆O  I为内心 Ia为A-旁切圆圆心
: 直线AIa与圆O交于点M 与BC交于点A1
: N为弧ACM的中点
: ...................


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修改:hound FROM 183.192.103.217
FROM 183.192.103.217

方法1：
设∠ANM=∠ATM=γ  ∠ANI=α ∠ATA1=β
显然有AN=MN
∴∠IaTK=∠ATN=∠AMN=∠MAN=∠MTIa
∴TIa为∠ATM的外角平分线
即AT/MT=AIa/MIa
由I为内心和Ia为旁心 显然有AI/IA1=AIa/IaM 且M为IIa的中点
设AI=a  A1I=b  A1Ia=x
则a/b=(a+b+x)/x

A1Ia=x=b(a+b)/(a-b)
IM=MIa=ab/（a-b）

AI/IM=ANsinα/MNsin(γ-α)=sinα/sin（γ-α）=（a-b）/b
ATsinβ/MTsin(γ-β)=AA1/A1M
∴sinβ/sin(γ-β)=(AA1/A1M)*(Mia/AIa)=（a-b）/b
交叉相乘 积化和差 再和差化积后得到
Sinγsin（α-β）=0
∵γ∈（0，π）
∴sinγ≠0
∵α∈（0，π） β∈（0，π）
∴α-β∈（-π，π）
∴α=β
即∠ATA1=∠ANI=∠ANS=∠ATS
∴S，T，A1三点共线

方法2：
显然有AN=MN
∴∠MTN=180°-∠MAN=180°-∠AMN=∠NMIa
∴MN^2=NT*NIa
由SN平分∠MSA 同理有MN^2=NI*NS
∴ITIaS四点共圆
在圆O 圆BIC和圆ITIaS中
已知IIa与BC交于A1点
∴由蒙日定理 三条根轴（BC，IIa，ST）共点
即S，T，A1三点共线
Q.E.D

【 在 hound 的大作中提到: 】
: 忽略上个帖子，循环论证了。
: - 来自 水木社区APP v3.5.7


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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*