第一题
图见附件

设AB中点为L 过A做EL垂线 垂足为M
过E做AB平行线 过A做DE平行线 设这两条平行线交于N
连接BN与LE交于H
连接AH与DE交于F’ 与NE交于Q
下面证明F’为DE中点 即F’和F点重合

显然EL垂直平分BC
由辅助线做法 显然ADEN为平行四边形
∴NE=AD=BE=CE
∴∠ABN=∠BNE=∠NBE=B/2

显然AMEC为矩形
∴EM与以A为圆心 以AD=EC=EM为半径的圆相切
∴∠HMD=1/2∠MAD=B/2=∠DBH（弦切角定理+圆周角等于同弧所对圆心角的一半）
∴BHDM四点共圆
∴DL*LB=HL*LM
显然有AL=BL以及 LM=LE
∴DL*LA=LH*LE
∴DHEA四点共圆
∴∠HDE=∠EAQ  ∠HED=∠HAD=∠AQE
∴△DHE∽△AEQ
∴EQ/EH=AE/DH=AL/LH

设AB=c 、AC=b 、BC=a
由角平分线定理 LH/HE=LB/BE=c/a
∴AL/EQ=LH/EH=c/a
由AL=c/2得EQ=a/2
即EQ=EN=1/2QN
在△QAN中由EF’∥AN 以及EQ=1/2QN
∴EF’=1/2AN=1/2DE
即F’为DE中点 即F’=F
也就是说AFHQ四点共线
∴∠DAF=∠DAH=∠HED
∴∠FAC=∠DAC-∠DAF=∠BLE-∠HED=∠BDE
Q.E.D


【 在 rdf2027 的大作中提到: 】
: 这两道几何题，怎么做？
:
[upload=2][/upload]
[upload=1][/upload]
--
FROM 111.194.200.*

第二道题解答：
做∠ABC的角平分线交AD于点G。
设BD=1，BC=AB=3， 简单计算可得AD=sqrt(13)， DG=sqrt(13)/4。
△DBG∽△DEB，DE=BD^2/DG=4/13*sqrt(13), AE=9/13*sqrt(13)，DE/EA=4/9.
由梅涅劳斯定理得  BC/CD*DE/EA*AF/FB=1, AF/FB=3/2, AB/BF*FE/EC*CD/DB=1, FE/EC=1/3。
所以3EF/EC=3/5。

第一道也可以用三角或建系，运算量略大。
--
FROM 39.144.104.61

余弦定理 加 分角定理 加圆幂定理（AD与圆BDE相切）
立得 AF/AB=3/5

余弦定理算AD长度 不让用余弦定理的话 就做垂线用勾股定理 一回事
圆幂定理AB^2=AE*AD 算出AE长度 进而得出AE/DE的值
第一次分角定理 AE/DE=（AC*sin∠ECA）/（CD*sin∠DCE） 算出sin∠ECA/sin∠DCE的值
第二次分角定理 AF/BF=(AC/BC)*(sin∠ECA/sin∠DCE) 算出AF/BF的值
最后梅涅劳斯算 EF/EC=3/10

这种题没多大意思
都是给明了数字纯算就行
无非是有些学生发现不了 圆幂 分角 梅涅劳斯这些
纯余弦一路到底都能得出答案
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 第二道题解答：
: 做∠ABC的角平分线交AD于点G。
: 设BD=1，BC=AB=3， 简单计算可得AD=sqrt(13)， DG=sqrt(13)/4。
: ...................
--
修改:calculus2000 FROM 111.194.200.*
FROM 111.194.200.*