导数有零点，且导数在零点左邻域＜0，且在右邻域＞0，那么这个零点就是原函数的极小值点。
f'(x)=a/x -x + b=0，
所以极小值点要存在，必须 b^2+4a＞0，所以 a＜0
解得极小值点为 x0=[b-sqrt(b^2+4a)]/2
又f(x)定义域为 x＞0，所以 b＞0
当 a 固定时，可以看出f(x)的极小值随 b 增大而增大，所以 b 趋于 sqrt(-4a) 时f(x)的极小值趋于最小，所以
f(x0)＞f(sqrt(-4a)/2)≥0
a≥-e^3
“f(x)的极小值随 b 增大而增大”可以直观地看，a固定时 y=alnx-0.5x^2 是个单调减函数，加上一个y=bx之后，会在y轴与直线y=bx之间被向上挤弯。显然b越大，向上弯得越厉害，转折点也越高。
或者简单证明：设 f1(x)=alnx-0.5x^2+b1x，f2(x)=alnx-0.5x^2+b2x，
且b1＜b2，f1的极小值点为 x1，f2的为 x2，
容易看出 x2＜x1；所以
f2(x2)＞f1(x2)＞f1(x1)
可以取等号，因为设 f1(x)=alnx - 0.5*x^2 + sqrt(-4a)x，显然 f1(x) 是单调减函数。
且有 f1[sqrt(-4a)/2]=0
对任意 b＞sqrt(-4a)，存在极小值且有 x0＜sqrt(-4a)/2，
f(x0)=f1(x0)+[b-sqrt(-4a)]*x0 ＞ f1(x0) ＞ f1[sqrt(-4a)/2]=0
【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: x[upload=1][/upload]
: 怎么证明最小值能取到
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修改:laofu FROM 120.229.69.*
FROM 120.229.69.*