第一题
设E在BC上的射影为F
设∠AEM=∠CEO=α ∠MED=∠OEB=β AB=a CD=b BC=a+b
（不设也可以 主要是为了看起来简洁 其实后面没多少计算）
S△ABE/S△CDE=a^2/b^2=AB*BF/CD*CF 即BF/CF=a/b
由BF+CF=BC=a+b
得BF=AB=a CF=CD=b（ABF和DCF为2个等腰直角三角形）
∴AF⊥DF
AM/DM=S△AEM/S△DEM=AE*sinα/DE*sinβ ①
由S△BEO=S△CEO
可得CE*sinα=BE*sinβ 即sinα/sinβ=BE/CE ②
由①②可得 AM/DM=(AE/CE)*(BE/DE)=a^2/b^2
设F在AD上的射影为M' 由射影定理 AM’/DM'=AF^2/DF^2=AB^2/CD^2=a^2/b^2
∴AM/DM=AM'/DM'
由合比性质(AM+DM)/DM=AD/DM=(AM'+DM')/DM'=AD/DM' 即DM=DM’
∴M和M'重合 也就是FM⊥AD
∴ABFM和MFCD 分别四点共圆
∴∠FMB=∠FAB=π/4 ∠FMC=∠FDC=π/4
即BM⊥CM
由O为BC中点 根据直角三角形斜边中线性质可知
OM=OB
Q.E.D
面积比是欧氏几何里的神技
【 在 S20060040 的大作中提到: 】
: 有基本思路，但证法太繁复，不简洁
: 有没有较好的证法
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload]
: ...................
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修改:knup FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*