设△ABC的垂心为H 连接CH延长 交AB于F 显然CF⊥AB
设BC边中点为M 显然M为圆EBC的圆心 MX垂直平分BE
连接HM并两侧延长 交劣弧BC于K交 优弧BAC于L
熟知KA为圆ABC的直径
即∠ALH=∠ALK=90°
∴LEHFA五点共圆
∴∠ELM=∠ELH=∠EAH=90°-∠ACB=90°-∠EMX=∠EXM
∴XLEM四点共圆
∴∠XLM=∠XEM=90°
即XALY四点共线

注意到AL 为圆AFE与圆ABC的根轴
EF为圆AFE与圆EBC的根轴
BC为圆EBC与圆ABC的根轴
由蒙日定理 这三条根轴平行或者重合或者共点
即直线EF过Y点

在△ABC中
对H点用塞瓦定理
(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

对EF截线用梅涅劳斯定理
(AF/FB)*(BY/YC)*(CE/EA)=1
（这里证EC为∠DEY的内角平分线  以及EB为∠DEY的外角平分线也很简单）
∴BD/DC=BY/YC 即 B,C;D,Y为调和点列
设BD=a DC=b CY=x
有a/b=(a+b+x)/x
∴x=b(a+b)/(a-b)
题目要证的那个等式等价于：1/b-1/a=2/(x+b)
把x= b(a+b)/(a-b) 代入2/(x+b)=(a-b)/ab=1/b-1/a
∴1/DC-1/BD=2/DY
Q.E.D

【 在 hound 的大作中提到: 】
: AD与BE交于K。BD-CD=2FD，三角形ADC相似于BEC，CD/AD=KD/BD=>BD*CD=AD*KD。三角形AEK相似于XEF，所以XEA相似于FEK，角AXE=角KFE，所以FK垂直于XY，进而三角形FDK相似于ADY，FD/DK=AD/DY，2FD*DY=2AD*DK=2BD*CD=(BD-CD)*DY，结论成立！


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FROM 111.199.185.*