设圆ABYX的圆心为O  AH的中点为I
下面把圆ABYX简称为圆O 把圆AHYX简称为圆I
设BC边中点为M连接MH并延长 交圆ABC 含A那段弧于Q点
延长XK与直线BC交于L点
先证明如下一个引理：
锐角△ABC中 A在BC边的射影为D H为垂心 M为BC边中点 MH与ABC外接圆的弧BAC（含A那段优弧）交于Q点 连接AQ并延长交BC延长线于L点
有如下结论：D、L调和分割B、C 即BD/DC=BL/LC

设B在AC上的射影为E 点  显然E在圆AHXY上
由熟知的垂心基本性质 H关于M的对称点在圆ABC上
且那个对称点是A在圆ABC上的对径点
则∠AQH=90°
∴Q点也在圆AHXY上
∴∠EAQ=∠EHQ=∠BHM
易知∠BHD=∠ACB=C
设∠MHD=α
tgα=tg∠MHD=DM/DH=（a/2-b*cosC）/(bcosC*ctgB)
由正弦定理化简后可知tgα=(tgC-tgB)/2
∠LAB=A+（C-α）  ∠LAC=C-α
∴sin∠LAB/sin∠LAC=sin（A+C-α）/sin（C-α）=sin（B+α）/sin(C-α)
将tgα=(tgC-tgB)/2代入化简
可得sin∠LAB/sin∠LAC=（sinB+cosB*tgα）/(sinC-cosC*tgα)
=cosB/cosC=sin∠BAD/sin∠CAD
（α必然是锐角 所以可以分子分母同时除以cosα）
∴AB AD AC AL为调和线束
即D、L调和分割B、C
引理得证
回到原题
注意圆ABC 圆O 和圆I
这三个圆两两相交的根轴分别为BC，AQ和XY
由蒙日定理 这三条根轴共点 即交于L点（如果这三条根轴平行 则ABC是以BC为底边的等腰三角形 D点和K点都落在BC边的中垂线上 根据对称性很显然有∠BKD=∠CKD）
由引理知KB KD KC KL为调和线束
又DK⊥XY
由调和点列性质可知 DK为∠BKC内角平分线 LK为∠BKC外角平分线

证明的话也简单 就是简单的三角函数计算
设∠BKD=α ∠DKC=β
则∠BKL=90°+α ∠CKL=90°-β
由KB KD KC KL为调和线束可知：Sinα/sinβ=sin（90°+α）/sin(90°-β)=cosα/cosβ
即tgα=tgβ  由α∈（0，π/2） β∈（0，π/2）  
∴α=β
Q.E.D

【 在 hound 的大作中提到: 】
: 延长XY交BC于点P。
: Pow(D,圆F)=DH*DA=BD*DC，Pow(P,圆F)=PY*PX=PC*PD
: 另一方面，Pow(P,圆F)-Pow(D,圆F)=PF^2-DF^2=DP^2
: ...................


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FROM 199.230.105.*