连接MN并延长 交BD延长线于F点
设BD中点为N1
AC中点为M1

显然有OM⊥UV
∴OM∥AE  同理ON∥BE
由Reim定理
ST∥CD（∵∠BTS=∠BAS=∠BAC=∠BDC）
∴ET/ED=ES/EC=k  k∈(0,1)

若S为EC中点 则k=1/2  T为ED中点
∴D、E关于直线XY对称
∠XEY=∠XDY=180°-∠XBY
又TB⊥XY
∴E为△XBY垂心
同理E为△UAV垂心
∴由卡诺定理OM=1/2AE  ON=1/2BE
∵OM∥AE ON∥BE
∴∠MON=∠AEB
∴△MON∽△AEB
∴∠ONM=∠F=∠ABE 即MN∥AB
设OE与BN交于Q’
则BQ/QN=AB/MN=EB/ON=BQ’/Q’N
即Q与Q’重合
即AM BN OE三线交于Q点
即OQE三点共线

若OQE三点共线
∵OM∥AE ON∥BE
∴OM/AE= OQ/EQ=ON/BE  
∴OM/ON=M1S/N1T=AE/BE
设AE=a EC=b BE=c ED=d
∴ES=kb   ET=kd
∴M1S=a/2+(k-1/2)b  
N1T=c/2+(k-1/2)d
由M1S/N1T=AE/BE
即[a/2+(k-1/2)b]/[c/2+(k-1/2)d]=a/c（N1T≠0 否则会有N与O重合 不符合题意）
整理得：（k-1/2）（bc-ad）=0
由AB与CD不平行 ∴bc≠ad （否则AB∥CD）
∴k=1/2
即S为EC中点
Q.E.D

btw：MNTS四点共圆 这个圆既是△AUV的九点圆 也是△BXY的九点圆
证明很简单
∠NMV=90°-∠OMN=90°-∠BAE=90°-∠BTS=∠STN
∴MNTS四点共圆
做MS和NT的中垂线 证出两条中垂线的交点是OE中点即可
根据梯形中位线性质 证明起来很容易
显然这个中点就是圆MNTS的圆心
熟知一个三角形的九点圆圆心位于外心和垂心的中点上 所以这个点也是两个三角形的九点圆的圆心
证明出圆心重合以后 再证明半径相等就是显然的事
进而三个圆是重合的
即圆MNTS既是△AUV也是△BXY的九点圆

【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 圆内接四边形ABCD AB与CD不平行 ABCD外接圆圆心为O 对角线AC和BD的交点为E
: S为线段EC内任意一点
: 圆ABS交线段ED于T点
: ...................


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修改:calculus2000 FROM 111.194.200.*
FROM 111.194.200.*