- 主题:0.循环9=1的严格证明zz
真是一本正经的胡说八道…
当然我知道你就是我之前说的无法理解和承认实无穷，不能理解一个无穷集合要作为完整的整体合起来才表示一个实数点，无穷集不是一个过程而是整体。尽管问题是有理数的，但无穷小数表示是针对实数的，给你带来了困惑。
数学是不能单单从直观理解的，否则要出很多错误。要抛弃对无限集合的直观错误认知可能很难，需要严格的数学和逻辑训练。只要涉及无穷集，反直观的数学例子很多，比如hilbert旅馆问题，dirichlet函数，contor的对角线法。
【 在 gulunmu 的大作中提到: 】
: 有理数的稠密性，从直观的角度去理解：在数轴上任意选一个线段，不管这个线段都么短，只要这个线段不是一个点，就一定能找到一个有理数。有理数在数轴上选取的任何线段中都存在，但在某个点上就可能不存在了，这就是有理数的稠密性。对实数而言，不需要在数轴上选取线段，任意选取一个点，这个点就一定是实数，这时候对数轴来说才是真正的“完整”了，没有任何的“间断点”。
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: 看清楚了，恰恰说明0.9的9循环和1就是可以是两个点，而且就是两个实数，两个可以挨得最近的实数，之间没有间断点。
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历史现实是，我们根据现实抽象提出了数，有了数的表示和运算，后来才逐渐总结推倒数的概念性质，整个过程互相交织深化。
但从逻辑上则可以是，先有抽象的数的概念和性质，给出构造方式，根据定义得到运算法则，然后才考虑数的表示法。
数的表示法，说白了是一套形式记法，你只要定义好记法和数集的对应关系就行了。实数的无穷小数表示法，只考虑小数部分，就是用一个0到9的无限整数数列表示一个数。它到实数的映射关系就用简单的级数和定义（级数理论不需要实数的任何表示法建立）。反过来实数到无穷小数表示法的映射不唯一，因为这样的无穷级数不唯一。
在这个意义下，0.99…当然是一个实数的合法表示。
有的教材（如周民强的《实变函数论》）为了避免不一一对应问题，就会刻意规定排除掉无穷小数的某些表示，保证双射。这就需要排除数列中连续无穷多个0或连续无穷多个9，例如周民强是排除无穷多个零，只承认无穷多个9的表示。这些也无不可。
【 在 nokia9300 的大作中提到: 】
: 这里涉及到一个比较有意思的问题，就是0.9的循环本身是不是一个数。
: 因为0.9的循环是由除法竖式计算1 除以 9得到的中间过程，并没有终结。而乘法竖式本身是一套对符号的操作。并没有任何论证这个在有限步完结的符号操作是可以推广到无限步的。
: 所以0.9的循环并不是一个确定的数，因为你没算完。
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一个小问题：圆周率当然是可以明确描述的，甚至小数点后任意一位都算得出来，只是不能用有限或循环小数表示而已。
这个话题延伸开其实是，能用有限长文字描述的数只有可数无穷多个，而实数不可数，所以绝大部分实数确实是用有限的语言“说不清”的。这也是实数集反直观的一个例子。
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 我发现很多人对无限循环小数的理解就是错的，无限是表明它有无数位，循环是对它后面各位数字出现规律的描述，并不表示它是循环滚动出来的。像0.999....也可以叫无限全是9小数。除式计算演示它与分数间的关系，但并不是它的生成方式。
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: 无限小数包含后面位有或没有固定循环节的小数，前者起名无限循环小数，有理数，后者起名无限不循环小数，无理数
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小学生确实是这样引入无限小数的。所以我建议给小学生讲这个问题时也用竖式除法分别计算 1/1 = 1.000… = 0.999… 来说明无穷小数的表示法不唯一。
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 什么哟，怎么会一个数是由什么除法竖式计算的。。。
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应该说需要严格定义，小学当然不会有。
定义本质上很简单，计算每一位即可。
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 怎么会没有定义。。。只是有限小数乘法的一种手算方法不能用于无限小时乘法而已，怎么会得出乘法没定义的结论。。。
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要求不能过高。第一大部分人不会知道什么书会讲这些，其次没有经过数学专业的训练很可能看不懂太专业的书。
张筑生的教材实数理论引入晚，且使用小数构造实数，在分析学教材中也是比较少见的。我前面提到过的周民强实变函数论，关于无限小数的说明就只是在一个角落里。大部分分析教材甚至都不会出现小数。有一些讲实数理论、分析基础、数学基础的专著其实挺好的，但要看必须到大图书馆才行。
【 在 puja 的大作中提到: 】
: 是这样的，张筑生的新讲中，把小数分成了规范小数和非规范小数，并规定了等同关系
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: 说来说去，就是一个表示方法的问题，跟着教材走一遍实数构造，各种困惑会少一些
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其实实数的各种构造都是需要无数个数的。而且不得不如此。
学一点集合论的知识你会了解到，实数的个数是不可数无穷多个，远多于自然数的个数。如果只用有限长度的文字表示一个实数，那就一定会有很多实数表示不出来了，这是因为能用有限长文字表示的数只有可数无穷多个，和自然数一样多。所以任何实数的通用表示法，一定是包含无穷长度的文字的。
【 在 hulili 的大作中提到: 】
: 为什么无数个数加起来一定是一个实数？
: 【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: : 公比小于1的无穷等比数列求和公式，是公理吗？
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至于你问为什么这无限个数加起来还是实数，这是极限论和级数论的基本结果。级数收敛，极限存在，结果还是实数。好在建立极限理论、级数理论只需要实数的概念性质，不涉及实数的具体表示方法，所以这里没有循环论证。
【 在 hulili 的大作中提到: 】
: 为什么无数个数加起来一定是一个实数？
: 【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: : 公比小于1的无穷等比数列求和公式，是公理吗？
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实数连续和稠密是两回事。说数轴是连续的其实是指实数子集对取确界有封闭性（或其他等价性质），直观就是实数轴上每个点都是实数，不会像有理点那样有遗漏。不是说实数轴连续就是能找到两个紧密无间挨着的点。
至于说这和从整数点培养的直观相悖，那没办法。
【 在 gulunmu 的大作中提到: 】
: 你都读偏了，我哪里没有承认实无穷？恰恰已经承认肯定是坐标轴上固定的一个位置有他。
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: 两个实数要么相等要么之间隔着无数个实数，实数不存在最接近的实数而坐标轴又是连续的，我确实有点理解不了。
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修改:milksea FROM 221.222.21.*
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友提，大部分受过高等教育的人，使用非数学专业的微积分（高等数学）教材对严格性的要求比较低，很多确实还是简单使用十八世纪前的无穷小之类直观思路理解和计算的，也没有理论证明。所以确实会大量出现类似的场景：
n→∞时1/n→0，
x→0时x/sin(x)→1，
其中箭头读作“趋于”。名称上叫它极限但辅助理解时实际使用无穷小量、微元法和几何直观而不是现代证明。我觉得既然没系统学过，理解混淆了也无可厚非……
举个例子来说，要不借助几何直观（曲线直线长度）证明 x/sin(x) 在0点的极限通常需要正弦函数的不那么直观的定义，比如用函数方程、幂级数定义，否则圆弧长度或者圆面积想说清楚就很麻烦。
【 在 nikezhang 的大作中提到: 】
: 你的说法用混了，应该说，在n趋向无穷大时，一个数列{An}的前n项和趋进于一个确定的数a，则这个数a是这个数列前n项和的极限，而不是你说的什么“极限趋近于”，上面的数列前n项和的极限可以写成\sigma｛n从1到∞}An=A，左边的形式叫级数，带入0.9999........这种情况，这里An=9/(10^n)，n=1,2,3,........，通常写成0.9+0.09+0.009+.......的形式，后面你自己算下级数是否收敛到1就行了
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: 【 在 gulunmu (小月长亭) 的大作中提到: 】
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