这题没有那么麻烦。

等差数列求和根据k的奇偶性可以分两种情况N=n(2n+1)或者N=n(2n-1)

N是平方数，就是说n是平方数，2n+1或者2n-1也是平方数。既然如此，直接枚举一下很简单

n       2n-1    2n+1
1       1       3
4       7       9
9       17      19
16      31      33
25      49      51
36      71      73
49      97      99
64      127     129
81      161     163
100     199     201
...

一眼就看到右边两列只有1，9和49是平方数。结合N是四位数，显然N=25x49=1225

考场上最多五分钟就做完了。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=______．
: 这道六年级课外题真把我难住了，整整做了一个多小时。
: 从没跟孩子一起学过奥数，孩子说跟互质的尾数有关，我完全懵比。
: ...................
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修改:FSCMajor FROM 101.6.136.*
FROM 101.6.136.*