- 主题:多说一句：勾股定理实际上是公理，几何方法是不可证的。
平面几何定理有很多是作图弄出来的，不也是观察的结果？
【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 赵爽的方法是切割拼图，但是切割拼图也没法证明拼图之间没有缝隙，所以只是说明，不算是严格证明。
: 实际上，超出平面几何之外，在球面几何里sin（90度）是可以大于1的。而在双曲平面几何里，sin（90度）则小于1。而我们现在看到的勾股定理，首先是一个观察实证的结果。
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FROM 114.254.0.*
作延长线、作平行线，这些都是平面几何证明的常用手段，这些方法都在平面几何可证的范围之内。
【 在 vontitan 的大作中提到: 】
: 平面几何定理有很多是作图弄出来的，不也是观察的结果？
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FROM 223.104.214.*
那么，我为了证明一个公理，只要把一个与之等价的公理设为公理，就可以把它降格为定理了。你是不是想表达这个意思？
【 在 molar 的大作中提到: 】
: 它本身是不是定理再说，但是你这句话不大对：
: 如果你认为“第五公理<=>勾股定理”的话，只要把第五公设认作公理，那么在这个公理体系内，认为“勾股定理是可以推导的定理”并没有啥问题。。。
: 因为“A<=>B”就是“A=>B且A<=B”，而只要“A=>B”且A是公理，那么说“B是可以推导的定理”就没啥问题。。。
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FROM 223.104.214.*
俺只是在说你那句话本身，在数理逻辑的层面上，是不对的。
至于下面这句话，只能说这个事儿“无所谓”。在科研上，最关键的是你真的能够找到这个“与之等价的”命题。只要找到了，随便把谁当公理，把谁当定理。当然，一般来说，学界会有一个习惯用法，但你如果一定要反过来也没关系，在书/文章里事先约定并保持一致即可。。。
【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 那么，我为了证明一个公理，只要把一个与之等价的公理设为公理，就可以把它降格为定理了。你是不是想表达这个意思？
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修改:molar FROM 111.201.70.*
FROM 111.201.70.*
直角三角形是个定义，斜边的计算方法是个定理。这些都不是公理。
【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 作延长线、作平行线，这些都是平面几何证明的常用手段，这些方法都在平面几何可证的范围之内。
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FROM 114.254.0.*
你这就扯到“学界的习惯用法”了。
对于第五公理这么晦涩的陈述，极大概率是西方某象牙塔学者们为了攻克证明毕达哥拉斯定理（勾股定理）的过程中琢磨出来的，必定后于勾股定理。
你承认哪个是公理，这不是学术问题，而是话语权问题。
【 在 molar 的大作中提到: 】
: 俺只是在说你那句话本身，在数理逻辑的层面上，是不对的。
: 至于下面这句话，只能说这个事儿“无所谓”。在科研上，最关键的是你真的能够找到这个“与之等价的”命题。只要找到了，随便把谁当公理，把谁当定理。当然，一般来说，学界会有一个习惯用法，但你如果一定要反过来也没关系，在书/文章里事先约定并保持一致即可。。。
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FROM 223.104.214.*
勾股定理的范围是在欧氏几何中吧，在球面几何中也成立？我直观感觉不成立，不过暂时没想清楚。
另外直角或垂直的概念，是定义，不是公理，也不是定理。直角定义是两条直线相交，如果所成的四个角相等，那么这四个角是直角。如果是这样，sin90=1可以证明啊。
球面几何我没接触过，球面几何中有自己对正弦函数的定义？我感觉还是沿用平面几何中的定义，取个极限就可以了吧。难道在球面几何中，三角函数又重新弄了一套？
【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 赵爽的方法是切割拼图，但是切割拼图也没法证明拼图之间没有缝隙，所以只是说明，不算是严格证明。
: 实际上，超出平面几何之外，在球面几何里sin（90度）是可以大于1的。而在双曲平面几何里，sin（90度）则小于1。而我们现在看到的勾股定理，首先是一个观察实证的结果。
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FROM 120.244.202.*
呃，也许，学术界及其外延，作为一个社会学研究对象，可以有这种所谓“话语权”之争。不过，如果真是想研究这个问题，而不是仅仅阴谋论一下而已的话，那需要拿出具体的材料。
但是，无论如何，那贴只是在说，你那句话在数理逻辑上是不准确的。不管是不是要争夺这个“话语权”还是其他的啥，至少叙述逻辑上不能有漏洞吧……
【 在 moonwalker 的大作中提到: 】
: 你这就扯到“学界的习惯用法”了。
: 对于第五公理这么晦涩的陈述，极大概率是西方某象牙塔学者们为了攻克证明毕达哥拉斯定理（勾股定理）的过程中琢磨出来的，必定后于勾股定理。
: 你承认哪个是公理，这不是学术问题，而是话语权问题。
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修改:molar FROM 111.201.70.*
FROM 111.201.70.*
在微分几何中，一般来说，不是“重新弄一套”，而是把原有的概念扩展。比如平面几何中的“直线”，在球面等上面，拓展为“测地线”。如果要用上原本的直线来研究的话，那就把要研究的几何体“嵌入”一个更高维的欧式空间中。
【 在 thecommon 的大作中提到: 】
: 勾股定理的范围是在欧氏几何中吧，在球面几何中也成立？我直观感觉不成立，不过暂时没想清楚。
: 另外直角或垂直的概念，是定义，不是公理，也不是定理。直角定义是两条直线相交，如果所成的四个角相等，那么这四个角是直角。如果是这样，sin90=1可以证明啊。
: 球面几何我没接触过，球面几何中有自己对正弦函数的定义？我感觉还是沿用平面几何中的定义，取个极限就可以了吧。难道在球面几何中，三角函数又重新弄了一套？
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FROM 111.201.70.*
我还是没明白他说的勾股定理是公理的说法。sin90度怎么就是公理了？那sin80度呢，sin70度呢？
公理体系的公理，总要选取几个最简洁最具有普遍性的论断作为公理，怎么能拿一个特例当公理。
【 在 molar 的大作中提到: 】
: 在微分几何中，一般来说，不是“重新弄一套”，而是把原有的概念扩展。比如平面几何中的“直线”，在球面等上面，拓展为“测地线”。如果要用上原本的直线来研究的话，那就把要研究的几何体“嵌入”一个更高维的欧式空间中。
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FROM 120.244.202.*