昨天看好长的，没时间看，今天有时间看了，结果就掉这么一点了
【 在 Gdieck 的大作中提到: 】
: 这篇长文当年是在博士家园论坛看到的，个人觉得写得非常出色，分享给大家，希望能引起诸位的思考与讨论。原作者是博士家园论坛的用户wcboy(听说他现在是清华某位教授)。全文内容如下：
: 1# 作者:wcboy
: 现在的论坛质量比以前差了，大部分都是来解题问答的，而且层次较低。以前论坛中，Qullien很令人印象深刻，但愿他能在国外闯出一片天空。现在基础数学版代数&数论子版中那几个讨论代数几何的还不错。不期望目前论坛出现很多高层次高手，高层次高手应该站在好课题上高观点讨论数学，出现这样的网友，看他们的言论非常过瘾。以研究为目的的数学人，必须心中要有至少一个很棒的问题在手，而不是一味地读太多的书和深究一些价值不大的概念细节。
: ...................
--
FROM 159.226.231.*

一个人不懂stack、topos、etal cohomology、Godel（哥德尔）不完全双定理不要紧，带着自己的天赋和天赋积累的例子去看，天赋的高低决定懂的程度。最怕的是不知道这些概念和构造的存在，因为在研究的阶段，你很可能会用上，至少可以让你学会以较高的数学观点看自己的课题。非常同意阿兰 孔涅（Alain Connes）的话：在我看来，关于数学首先要知道，我们无法通过学习变为数学家，而是通过做数学才能称为数学家（我加一句，必须有天赋和基本基础的人）。看万卷书破万个题的学习方式不是普适的，并且我认为是多为迂腐人所为，数学研究的起始只需要你的知识足够对付你所选课题的首期即可，后期必须在天赋的引导下进行研究式学习来补充不足，天赋的最主要作用在于最后产生新想法、技巧或构造去攻克课题。搞研究的人必须要先选合适自己天赋的课题，不能等到大部分基础打好后才选。有课题在手，使你容易选方向深入，在辨别中深入理解所需数学内容，普通学习达不到这种效果，因为在思考课题时，有些内容可能比课本更深入了，变成自己的东西，课本学习就变得容易。选课题也是要有天赋的。
数学研究的目的是什么？是解题。为什么不是乐趣和学习？一般的乐趣和学习是低层次行为，不属于研究目的。解题的关键是什么？是做出一个数学构造。这个构造可以是一个例子的构造（构造一个例子去完成一个否定或辅助支持论断，比如构造一个具体的同调群结构（解决一个拓扑分类问题）或一个特殊n体系统（解决天体力学中n体问题）），也可以是一般构造（比如椭圆函数和模形式的对应构造、亏格），还可以是基本构造（比如黎曼面、庞加莱的拓扑同调及同伦技术、汉密尔顿四元数构造）去开始一门学科分支。解题的乐趣是研究数学最大的享受。非常同意韦伊（Weil）的话：要想掌握高深的知识，唯一的途径是阅读大师本人的著作。阿贝尔（Abel）也如此认为。
只有读大师的书，他们才告诉你数学的真相和他们方法的原始构思和起源。大师的数学思想的价值是非大师不能比的，而且从大师的论文中，你还可能读懂别人没读懂的隐藏思想。很明显，大师论文会明显或隐晦地回避他的方法的某些缺陷，这不是每个人都能读准的，有的被后人发现，有的没有，有的还被误读。比如在看代数几何以前，先读一下迪厄多内（Dieudonne）关于代数几何的发展史及关于数学结构分类的文章和书是非常有益的，这有助于消除对高度抽象的恐惧感和直接进入高度抽象后的抽象迷失症（不知道抽象的目的后的盲目抽象）。

尽管数学越来越抽象而高深，但是一个正常的数学研究者必须明白一个真相，数学的基本结构才是数学的核心，基本结构才是数学结构抽象赖以生存的基础。基本结构分几何和代数两部分。
现有的代数基本计算构造包括实数、复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数、模代数（mod(n)），包含所有基本运算及置换运算。几何基本结构包括解析几何结构和拓扑结构。所有数或函数域扩张是基本结构或混合结构的子部分或模拟。复数与实数结构有一个很大差别，数分解的唯一性和非唯一性，这直接通向环的理想结构，方程解的性质分析直接导致用矩阵结构处理不同群的计算，模代数导致循环群和环的概念扩张（周期封闭运算）。矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数中非交换或非结合的主导地位。无穷结构（康托尔连续统）对代数结构的限制，导致连续计算结构和离散计算结构的差异。任何代数结构都必须用来处理几何结构，否则没有意义。代数是工具，几何是灵魂。正是复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数在出现时没有对应的几何应用才导致争议或被忽视。几何结构用代数构造来处理才能到达深刻。所有方程都是函数，函数基本可以和方程等价看待，如果在不违反康托尔连续统结构条件下。数论方程是离散几何形，分析方程是连续几何形。
基本计算构造中的一些基本计算形式必须被了解，比如分析中的泰勒形式，傅立叶级数，外微分形式，柯西复公式，调和级数。复数中的欧拉公式，复函数的自然级数ｅ表示公式。
一些基本的思想，比如函数点化的函数（参数化）向量空间（甚至更抽象的等价类的moduli空间（概型））思想（一个高维图形或等价类可以看成抽象空间的一个点），比如函数的（系数或系数加部分变量）形成坐标（环域）和变量形成的向量基，基本的如整多项式和劳伦斯多项式，系数和变量可以不是实或复域，可以是矩阵或其他计算结构或混合结构。
格罗腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同，实则不同。公理化重在处理逻辑，而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强化。在数学中，个人以为构造比逻辑重要和有效得多。
抽象代数最有价值部分是群的计算，尤其有限单群，其次环域分解，即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论，但还是其数论的效用显著，几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应用于拓扑，但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大，主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题，对此庞加莱本人十分清楚。当对比前辈时，当代数学家的影响和地位一般都会被当代数学人拔高。历史长河将会自动降低大多数人的影响力。所以你必须对数学家的成就给予较合理的评价，这样才能合理地理解数学思想和构造。一个盲从的人，其研究能力将被降低。就个人观点而言，能在庞加莱和希尔伯特后称为数学巨匠而无争议的人只有格罗腾迪克。格罗滕迪克第一次真正地总结了所有现存的代数与几何结构，实现了纵横联合。但不应过分拔高其影响。个人认为他还是不具备黎曼、庞加莱、伽罗华、高斯、阿贝尔、希尔伯特的影响，因为他们交给我们一些基本计算构造，而格洛腾迪克只是综合别人的构造。
几何的洞察力比代数天赋更宝贵，格罗腾迪克的几何洞察力比较弱，其代数几何更像是为从事数论的人打造的，适合算术几何化分析。这点可以从他的拓扑比较弱，抽象代数比较强可以看出，尽管他最初从研究拓扑起家。他的代数几何继承了经典抽象代数构造和拓扑技术构造，尤其同调技术（庞加莱的拓扑同调看来比希尔伯特的多项式同调更加深刻）。拓扑结构，格洛滕迪克的东西是罩不住的。康托尔连续统结构，格罗滕迪克的东西是罩不住的，但格罗腾迪克试图用（拓扑斯和范畴）罩住它，这很不现实。
康托尔连续统是整个无穷构造绝对核心。康托尔连续统的构造并非完美，哥德尔只是从逻辑层面而不是从计算构造层面解决康托尔无穷结构。任何对康托尔连续统结构的调整必将引起数学面貌的重大变化。如果从代数方面简单地处理康托尔连续统，就算以后被证明是对的，目前也是很难被认同的，就如格拉斯曼、汉密尔顿的境遇，康托尔本人当时境遇很惨。约翰康威在康托尔连续统上做了一些探索，但那只是游戏而已，非标准分析就只是一个拙劣的模仿产物。代数基本计算结构的新出现（发明），必须反应在几何结构重大自然发现中。格拉斯曼代数在多变量微积分张量结构中，汉密尔顿代数在麦克斯韦方程中的应用，才使这些构造有意义。本人认为康托尔连续统构造不是令人满意的。
当前格罗滕迪克的东西被人过分拔高了。它的局限性是很明显的，它更像一个数学的抽象合纵，不能用作提供解决一些关键数学结构的代数构造武器，尽管以后新构造会符合抽象代数的某些要求。现代几何尤其拓扑仍然笼罩在黎曼和庞加莱的影响下。
--
FROM 163.204.84.*

3# 作者:plp归来

回复2#wcboy

确实这个论坛没有以前的质量好，确实也没有个高手，我在本科的时候看过你说的高手们，我没有觉得他们的言论有多好。知识的积累是需要的，水积之不厚，其负大舟也无力。举个简单的例子，你看一下国内的数学家引用的论文，要么很少，要么引用好多同一个人的论文，你再看看著名的数学家，他引用的论文很广，涉及领域很多，涉及人数很多。一个说明国内的数学家积累的很少，一个说明他们研究的领域没几个人研究。他们也负不起大舟。还有为什么要和其他人合作呢？是因为一个人的知识有限，和人们合作，知识的积累成倍增长。
读书为什么要仔细的读，为什么要抓住每个细节不放，一是因为我们在做数学的时候很多时候是研究细小的问题，这样才能保证我们的证明无误。才能保证我们的idea不是空想，二是因为我们可以看到别人是如何利用定理的，证明不重要，但我们看懂定理证明的同时，我们发现定理可以这样用。
你说的代数几何的结构，我要再说几句，这个抽象结构到底是什么？只看结构主义的哲学论文，根本看不出来。这个结构就是范畴论，和由范畴引发的同调代数。这就是代数几何最抽象的结构，如果不懂范畴论与同调代数就没法研究代数几何。
我们这些爬楼梯的人虽然没有坐电梯的人快，但是我们掌握了这座楼的大体情况，再在这座楼上建造怎样的房子，爬楼梯的人可能比坐电梯的人更有发言权。

4# 作者:PStrongart

基本上很有道理，只是“代数计算”的说法有点偏颇，代数主要是一种结构的把握（计算是在一个棋盘上下棋，而代数则是发明新的棋类，并评判各种不同棋类的价值），这同样也是中国人所不擅长的。

5# 作者:小小知日

赞此文，此文让我想起华老对不同人研究层次的划分，观点高低还是很重要的

6# 作者:wcboy
plp归来:
像Qullien这样的网友表现出了很高水准，他对代数几何的背景、人物贡献、书籍、各种问题的发展状况作了很个人的看法，没有一定深度是说不出这些感受的。在国内论坛中还没见过这么强悍的个人评论，不计那些成熟的名家言论。当然这并不代表他对那些内容真的了解很深，但至少全面和个人数学天赋应该没有问题。当然国内应该出不少致力于代数几何课题的新一代强手，水平不差于他的，很多也在西方国家数学。但很多忙于研究，在论坛露面散心的不多。
国内数学家确实不行。他们的研究领域为什么不吸引人？因为成果没有吸引力，能力较差，不能辨认数学发展方向，追踪最新数学不力，还有很多人不是喜欢学术是喜欢权术和财富地位，邱的指责是对的，尽管他想树立他的华人第一的形象。不管邱的动机如何，他有实力树他自己，只是其对田的责难太过，国内的人出国以后，国内的还毛病应该是有的，不过他在佩尔曼庞加莱问题上的表现不是令人满意。
关于数学合作，仁者见仁吧。对等水平相投的人可合作。个人认为独立研究的结果更深刻。
读书仔细这个问题是个人风格，只要最终能解课题就行。比如同调技术，学到多少才是每个细节不漏，问题是每本书都有不同著者个人喜好细节，肯定也漏。你说的细节是书的细节而不是同调技术细节，二者不等。在高端课本中，存在很多开放问题，很多技术细节是不成熟的。怎样才能算懂，构造一个去计算，这容易吗？对名家都是很难的。不管你坐电梯或爬楼梯，最后能出成果才算数，不出成果读多少书都没意义。解题的细节才是数学研究的命门。
证明无误，对很多长证明来说就很难保证了，就算很多专家也不能保证无误，比如有限单群证明、四色问题，有很多人是怀疑的，不是怀疑定理的正确性，而是证明的方式和过程的保证。其他人自己不能验证，只能信专家和他们的仔细检查。另外，就是数学本身的严密性，每个时期这个严密性有可能变化，比如分析领域。
格洛腾迪克的文集那么多又是法文，多少人能全看完？中间就没有不成熟的甚至不合理的（不想用错误这个词，不合理不等于错误）。但他的基本思想和结构效用应该是没问题的。其最大贡献就是建立了数学语法。
不喜欢范畴这个概念，它的出现出于修补集合论的悖论（个人很反感集合论的选择公理），当然所有东西都可以往里面套，万能胶。其实集合论就够了，集合论的很多东西不是喜欢，比如皮亚诺自然数公理，纯属多余。映射、态射、变换、对应不就一个意思吗？搞那么多概念，其实（1 to n or x）或（n or x to 1）变换、双对射变换不就行了。态射图的数学风格我是不喜欢，当然它有一些好处。
我的本意就是有数学天赋的人要尽快进入研究状态，在研究中学习。伽罗华研究他的方程时，我怀疑他是否学过微积分，反正也用不上。阿贝尔没问题。不知道阿贝尔学过高斯的微分几何了没有。怀疑。
To PStrongart：
代数结构包括存在性构造和计算构造，存在性构造必须基于计算构造，所以强调代数(规则设计下的)计算。
--
FROM 163.204.84.*

15# 作者: wcboy
To 洛奇:
在分析中，无穷和逻辑悖论关联在一起，无穷需要更深挖掘。数学中使用的实用构造是非常有效的。
To ni_o ：
难界定不等于不存在，灵感就是直觉（或数觉），就是天赋。天赋有不同类型，你说的属于慢型天赋，比如很多数学家不习惯短时间考试而成绩不行。为什么有人研究一辈子数学没有成果？为什么一个本书看了5年你还是看不明白？
是的有的人花的时间长出成果，有些人很短出大成就，有人半道出家都行。有些人看书做题破万道，有的人只需要蜻蜓点水。数学家不只有一种类型，不过很多中国人以为世界上的数学家都是丘成桐、华罗庚和陈景润式。还有很多天赋低的人总是不服或妒忌那些天赋高的人，喜欢跟人比。
得Fields就是判断一个地位高低的标准吗？对一个数学结论的评价取决于你的层次，而你的层次得看你的研究深度。
菲利克斯o克莱因的那个著名的纲领，那又怎么样，包含了拓扑结构了吗？最后还是没有想象那么好，庞加莱对那个东西不也没有太大兴趣。你要严肃评判Thurston的GT3和庞加莱出现，你要对整个拓扑学有较深的理解，最好你能看到一些它的缺陷和他没看到的东西。你能有通吃所有维数下拓扑流形构造的想法吗？你能真正想象一个高维复杂流形的形状吗？高维的东西为什么要抽象，因为几何很难想象，虽然通过方程描述，但不等于你能想象它的形。但是有人就是能有别人不具备的能力，比如Thurston能看见一些高维拓扑形。高维拓扑形的想象和拉马努金数论想象是同样难的，能正确理解Thurston说他的东西写不出来两重含义？

17# 作者: EllipticCurve
回复 14# ni_o
我觉得你说的和我理解的大体上是肯定的，只是我想还是的需要一定的智商，比如我国有很多的很努力的数学工作者，他们一辈子勤勤恳恳，但是最后也没有搞出来重要的成果。

18# 作者: ni_o
TO wcboy 同学：确实，每个人的知识背景、数学功底、TASTE和研究风格不尽相同，因而对于天赋的讨论，最终只能是见仁见智的。要批判前人的智慧，我想应该先真正理解他们。关于什么是真正的拓扑学和微分几何学，改天我再详谈吧。
TO EllipticCurve 同学：呵呵，也是也是。

19# 作者:wcboy

研究时间和学习时间的分配：

这是每个数学研究者必须考虑的，你必须放在整数学生涯中考虑，对于天赋高者，必须从你学习的早期阶段就要有所考虑，在学习时同步思考和调整你将来要选或思考的问题集，即有目的的学习，其实对大多数人来讲，是说的容易做着难，但对天赋高的不是太大问题。
从整个研究生涯来看，学习的时间越多，那么研究的时间越少。要讲平衡，在这个基础上尽量缩减学习时间，这也就是天赋高的人学习时间少的原因。但无论你天赋怎样高，你还是要时间学习的，要面对大量书籍和论文，还有每个人不同，其他事要占据很大一部分时间，其实留给研究或独立思考问题的时间并不多，而且当你遇到进行不下去时，还要放弃一些时间，比如去旅游，半年之内放弃思考等。那么多的书和论文，你显然不能全看，而且没有必要，如果你课题目标不明确，这就是一个麻烦的事。所以早早得到合理的课题或课题集是最好的办法，围绕你需要的东西或深或浅地学习，只以解决问题为目标。解决一个问题，你的研究生涯就值了。别以为破万道学习题是万能的数学研究的起点，如果这些不能为你日后的思考通过太大的帮助，也是无益，如果帮助大，恭喜你为自己课题积累了经验。要知道破万道题的时间（一天一、两道题，这要花多少时间，你不可能整体数学吧，很现实的话）说不定比你破解一个研究课题化的时间还要多，但不合算。只要做题量能帮助你理解就行了，因人而定，因天赋而定。
首先，每个数学论文或专著或多或少都是有点价值的。你完成的课题要想得到别人的阅读，必须价值越大越好，否则只有沉睡的份了。有时太超前，别人无法找到应用，就算未来价值大，也可能遭忽视。价值越大的深刻课题，一般天赋要求也越高。如果要想得到价值最大化而风险最小，研究一流数学家的问题。如果要进行有风险的数学革新，研究数学巨匠的问题（一般这样的问题要自己找，别人不能给你）。这两样类型，没有过人的天才，那最好别想，如果去思考，只是徒费光阴或成为民科。所以大部分有天赋的人只能研究一般数学家的问题。如果选一般数学问题，也就意味着你需要放弃很多东西，意味着你局限在一个狭小的分支内，你得遵守它的规则，学习它的目前能有的所有细节，其他的外部分支，你就看自己的时间，能弄多少算多少，说不定那天有用。因此，就算你在狭隘的分支内工作，时刻要保持开放的思想，因为水道渠成而有受外部知识影响，而一个人有时又不能完全知道自己的天赋所在（这是有可能的，这就是不放弃的原因），你可能会改变研究方向而进入另外的领域。
--
FROM 163.204.84.*

23# 作者:洛奇

回复22#wcboy

其实我觉得我们这个年纪的学生还是不要随便质疑老师的想法比较好.
我觉得研究生阶段完全听老师的看法,仔细看老师给的文章,想老师给的问题,应该就很够了...
甚至每个分句前面可以加上"只要"我觉得也很不错了...
以上个人意见,请不要拍砖说我盲从...


24# 作者: wcboy
to 洛奇:
质疑就是正确评价别人的东西，并不是否定别人的东西和对别人的不尊重。并不是人人都有能力去质疑，否则不理性。其条件与你的实力有关，与年龄无关，很多人年少成才，比如20左右，因为他们那时已经具备质疑的实力，最后也早早取得成就。但是绝大多数人实力都达不到要求，无论你是一般大学生或研究生，当然学习的份就多。就个人一般观点而言，达到博士阶段，或多或少应该有此能力，否则太水。对于过人之人，没有年龄和阶段限制。
不主张一般人去做没有实力的质疑，但强大天赋的人在研究解题中须不断去质疑，不要太过限制自己。

无论整体和个人，东方人在数学上与西方人比，差距是比较大的，华裔也是如此，我想应该与传统文化环境有关。

很多国人抱怨国内环境太差，我想这不是决定性因素。首先，现在中国经济上比以前西方的经济环境强很多，而且中国历史上比西方国家富有和强大有很长时间，但是西方一些巨匠大师是在贫困的条件下成功的，有的人生前都不被认可，有的还在战争中作出成就，所以以经济为借口说不过去。以体制为借口也是说不过去的，比如前苏联和东欧。就算国内学术体制不如西方，影响整体，但对真正有天赋的个人应该影响不大，如果手上真有硬货，完全可以在国外找到机会。所以，无论怎样恶劣的环境，天才就是天才，环境降低不了他的能力，因为他有实力和强烈的征服问题之心。

我想古希腊和古罗马的文化对西方人影响至为深远的，理性、质疑、学习、冒险和挑战完全融入西方人的传统和血液，他们中的精英和天赋携带者作为个体将这种特质转化为成就。这些综合特性很难在东方精英中体现，东方人讲究实用、方圆、顺从和曲线绕道策略。东方对小孩的教育归于保守，对于一般人是适用的，但对天才大大不好。如果一个小孩从小就被动学习，搞“精英教育”，没有玩的天性和自由，照着父母希望的路走，害怕失败，失去很多自发自主行为，最多也就是一个以常规思维考虑问题的天才。西方人群中的科技天才无论数量和质量远胜东方。西方所有巨匠级天才和一些一流大师完全不按常规出牌，随心所欲。尽管东方有一些数量不多的一流大师，但东方人缺乏黎曼、庞加莱、阿基米德、高斯、伽罗瓦、阿贝尔、牛顿、格罗腾迪克一类巨匠的人物，传统基因是最大一个因素。

总的来说，很多天赋强大的人尤其巨匠式天才是自主自发式学习和研究，绝不是培养出来的，因为这种级别的人，学习速度太快，境界太高，别人很难真正做他的导师和达到他的境界，只是徒有导师虚名而已。


26# 作者: 洛奇
回复 24# wcboy
恩...我想大部分学数学的学生都不是天才... 所以象我这种头脑的还是别把自己当天才看待的好...
能念完导师给的文章和书,能做点导师给的题目,我觉得这样的博士并不水,已经很出色了...
至于学术上要求的洞察力,创造能力,检索文献的能力...我觉得这些可以等拿到博士学位以后再说吧...


32# 作者:xylong

wcboy我试着读完了您写的，总的说来蛮不错的令人甚是受教，至于Qullien的东西我也在试着阅读（不好意思还没读完），您们二位对数学的主要看法是强调代数几何，可是我不认可，数学分支比较多吧！我不认为这些分支之间没有孰优孰劣之说，还有就是我个人认为代数几何还是没有脱离笛卡尔和费马的思想，您们认为是庞加莱及黎曼，可我个人认为代数几何追本溯源还是笛卡尔的那种想法，即用代数方法解决几何！其实，数学各分支的结合总有惊喜的收获，您也说过数学分支的分类还是人为地，那您又何必如此急于厚此薄彼呢？
以前，没在意论坛，自己的数学积累也不是很好，所说的可能没什么道理，但是论坛改版，说明其有改版的必要理由，改版嘛我个人认为可能是出于好的目的吧！事物总该向好的方向发展，不然就太没意思了，不是吗？数学的普及不该如此做吗？或许您认为这有些民科了，可是全民数学素质的提高不就是要那些高手参与菜鸟的讨论，给予指导、启发。俄罗斯那些数学前辈的做法可以值得我们思考！
小子无知，班门弄斧了！

33# 作者:wcboy

一些人理解歪了，如果一个论坛没有有趣而深刻的见解出现和讨论一些较深的和最前沿的问题，而只有较低的问答层次，这样的数学论坛就没趣了。深刻见解和最前沿问题讨论会激发一些潜在的真正数学研究者。每个人学习数学的目的不一样，每个人对数学的激情不一样，每个人的数学内容的喜好不一样，每个人的数学积累和天赋不一样。这些不一样会让你期待不同的数学讨论。对于一般人，了解简单数学就够了，过深的数学对他们是有害的。对于一般数学应用者，过深的数学研究也是有害的，理解能用上派场的内容就够了，不要什么都追根究底，除非你的课题深度真的需要。只有真正有能力和天赋的研究者才合适滑入数学深渊。不是所有的数学内容适合科普和放在较低层次去讨论，比如Hodge structure、Mirror symmetry、Gromov–Witten invariant和Index theory，你要读懂，必须有很深很全面的数学背景。只有达到一定的背景，讨论才可相互理解。

数学的发展意味着留下的数学问题的解决难度越来越大，数学的研究越来越精英化而不适合常人。数学的发展是少数精英推动的，这比任何其他行业更加明显。数学巨匠和少数一流大师占据绝大部分数学贡献。随着数学积累和研究深入，你对数学家的评价会随时间变化，让你真正认识一些深刻而影响深远的数学家。当然专门的偏好会让你产生一些个人偏见，要真正有效评论一个数学家必须结合对数学分支的恰当看法。
如果使用不同标准，那么评价是不一样的。如果你使用最牛的数学家标准，那么在一般情况下，大多数肯定是现在活着的数学家而不是远古数学家，因为即使现在一个数学研究生的水平都随便超过牛顿和阿基米德。如果采用历史贡献的标准，和稍将眼光在历史长河中延长到未来一个世纪以后，那么当代这些牛人没几个能上榜。如果一个数学研究者不熟悉诸如格罗滕迪克（Grothendieck)，威滕(Witten)，阿蒂亚（Atiyah），瑟斯顿（Thurston），丹尼尔o奎伦（Quillen）、米尔诺（Milnor），孔采维奇（Kontsevich）, 沃恩o琼斯（Jones）,（阿兰o孔涅）Cones，弗拉基米尔o沃埃沃德斯基（Voevodsky）等这些当代数学家名字，很怀疑他是不是一个合格的研究者。绝大多数数学研究者都会在自己心里对重要数学家的成就有自己的看法，即使他不说出来。


一般人中有影响的数学家和数学研究者中的有影响的数学家是不一样的。一般人很难评判众多数学家的成就，即使对很多数学研究者也很难，除非你的数学根基比较全面和有一定深度。
下面就说说个人对一些数学家的看法，从历史角度入手而不是从当下的影响程度来评判。
牛顿以前的数学家，比较欣赏的是阿基米德（Archimedes）和阿波罗尼斯（Apollonius）（圆锥曲线的分类，这种分类的思想研究是现代数学研究的第一推动力了）。
1900年以前或左右数学家，黎曼（Riemann），庞加莱（Poincare），高斯（Gauss），伽罗瓦（Galois），阿贝尔（Abel），牛顿（Newton），欧拉（Euler），拉格朗日（Lagrange），希尔伯特（Hilbert），拉马努金（Ramanujan)。
1900年以后的，格罗腾迪克（Grothendieck），埃米o诺特（Noether），韦伊（Weil），塞尔（Serre），威滕（Witten）。
在个人观点，top one of all time，无法从黎曼（Riemann），庞加莱（Poincare），高斯（Gauss）三人中选出，如果从纯数学文章深度看，选黎曼（Riemann），如果从数学难度选，挑庞加莱（Poincare)（因为拓扑结构太难了），如果从数学广博挑，认高斯（Gauss）（实际上Gauss太保守，很多好东西因为不完善不愿写出来）。个人偏好，庞加莱（Poincare）更靠近自己。
如果要挑最天才的本能数学家，非拉马努金（Ramanujan）莫属，如果他命长点会generalization和make conclusion的话，那么最高丰碑数论家是他而不是高斯（Gauss）了。一个能直接看到结论的天才难道不比只会推理解决别人问题的数学家更难能可贵吗？他是神赐数学家。如果一开始他就受到正规教育毒害太深的话，他的天赋会丢掉吗？这个谜无人能解。
微积分不能全算到牛顿（newton）头上，但个人认为他比莱布尼兹（Leibniz）强，一是它将充分物理纳入数学而发挥数学的威力，二是他继续推动阿波罗尼斯（Apollonius）的分类工作，尽管是应他人挑战而做。
伽罗瓦（galois)的群和阿贝尔(Abel)的函数已经成为数学中最难而深远的代数结构。格罗腾迪克（Grothendieck)贡献了最棒的数学抽象思想和构造，威滕(Witten)的出现可以看作一种趋势的加强，物理的基础结构将完全置于数学上，实验只提供系数（如普适常数，相对常数），即物理idea，基础及构造的解释完全数学化。他们的贡献还在于对常人设置了一个高门槛，让民科们望洋兴叹。当然我并非说威滕(Witten)的超弦理论(SuperString theory)是合理的，但认为他是一个有远见的一流数学大师（还不能到巨匠级别，除非超弦理论真正占住脚）。有些人虽然作出了重大贡献，但不能算数学巨匠或准巨匠，因为在发现或发明后没有深刻地刻画数学基本内容或非常不完善，或没达到大家的期望值，比如笛卡尔(Descartes)的坐标系，哥德尔(Godel)的不完全定理和康托尔(Cantor)的连续统工作，都不到位或只到达一定深度。
--
FROM 163.204.84.*