False.


We claim that H must be normal if aH != bH suggests Ha != Hb.


Assume that
there exists g in G, h in H such that ghg^-1 not in H. We have:


ghH = gH
H(gh) = Hg
H(ghg^-1) = H


Contradiction. Therefore for all g in G we have gHg^-1 = H, i.e. H must be normal.




【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 一个无限群G有一个子群H，是否一定存在G的一系列元素g1，g2，……，使得g1H，g2H……互不相等，并且恰好是H在G中的所有左陪集，并且Hg1，Hg2，……也恰好是所有互不相同的右陪集？
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FROM 188.67.137.*

题目的条件就是 H 的 left coset 和 right coset 是 1-2-1 mapping 啊。这道题换个说法就是，是否对任何 H ，其左右 coset 一一对应啊。


【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 你这个a，b是存在还是任意？
你的这个结论和我说的猜测有什么联系呢？
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: ...
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我再试试看。


Let a,b in {g1,g2,...gn}. Since cosets partitions G, we have a!=b iff aH!=bH, and a!=b iff Ha!=Hb. Hence Ha!=Hb iff aH!=bH ... (1)


Suppose there exists g in G and h in H such that ghg^-1 not in H. Observe ghH=gH, hence according to (1), Hgh=Hg, but then Hghg^-1=H, i.e., ghg^-1 in H. Contradiction.





【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 我又没要求左陪集等于右陪集
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: 题目的条件就是 H 的 left cose...
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请教一下为什么这句是错的？


>>存在G的一系列元素g1，g2，……，使得g1H，g2H……互不相等，并且恰好是H在G中的所有左陪集


这个条件不就是说在 {g1,g2...gn} 这个集合里，g_jH != g_jH iff i != j 吗？我就是假设这个集合存在且 a,b 属于此集合啊。


事实上，根据题目的猜测，\phi: ah -> ha 这个映射是 bijective 的，就这一个条件就能推出 H normal ，而且不管 G 是否有限均成立。


【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 这句就是错的a!=b iff aH!=bH原文这个性质在G有限时肯定是对的，组合数学hall定理的一 ...
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FROM 188.67.137.*

我的 notation 有点混乱让你误会了。我贴个正式点的。
我证明的结果是满足题目条件的 H 必须是 normal。所以题目猜测是错的。




【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 哦，我当时以为a和b是群G中任意两个元素，那第一段没错
: 这样的话，第二段中你只是证明了当H不正规时，g和gh不能都属于{g1，g2……}这个集合。并没证明或者推翻原题
: 但你证明的这个，是个显然的命题，这样的一组gi如果存在，必然是恰好不重复的遍布所有左陪集，同时也不重复的遍布所有右陪集
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修改:philbloo FROM 188.67.137.*
FROM 188.67.137.*