f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1<x2，怎么证f（x1）>-1/2

- 来自 水木社区APP v3.5.4
--
FROM 171.109.178.*

竟然还有人在用term。。

【 在 laofu 的大作中提到: 】
有两个不同的极值点可推出 a大于0且小于1/2
以及 x2大于1
所以f(x1)大于f(1)大于-a大于-1/2
--
FROM 112.17.236.*

f' = lnx + 1 - 2ax = 0
lnx1 = 2ax1 - 1
lnx与2ax-1相切于(1,0)，所以x1<1
f(x1) = x1(lnx1-ax1) = x1(lnx1 - lnx1/2 - 1/2) = x1(lnx1-1)/2 > -1/2

【 在 Lispboreme (学习求教) 的大作中提到: 】
: f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1<x2，怎么证f（x1）>-1/2
: - 来自 水木社区APP v3.5.4
--
FROM 58.213.234.*

有两个不同的极值点，所以 f'(x)=lnx+1-2ax=0 有两个不同解
a小于等于0时 f''(x)=1/x-2a 恒大于0，最多只有一个解；
a大于0时，x=1/2a 时有 f'(x) 有极大值 ln(1/2a)，
所以当且仅当 ln(1/2a)大于0 时 f'(x) 有两个不同解
得 a小于 1/2
所以 f'(1)=1-2a 大于 0，
又因为 x 小于1/2a 时 f'(x) 是增函数，
所以 x1小于1，f'(x1)=lnx1+1-2ax1=0
所以 f(x1)=x1[lnx1-(lnx1+1)/2]=x1(lnx1-1)/2
而 x(lnx-1) 在 (0,1) 上单调减，
所以f(x1) 大于 -1/2


【 在 laofu (茂) 的大作中提到: 】
: f(x1)极性弄错了，我得再想想
--
FROM 163.125.192.*

算出来的。两个平滑曲线相切，那么在交点的斜率相同，根据这个算切点位置。
【 在 Dionusos (酒神要努力工作了) 的大作中提到: 】
: 为啥相切于(1,0)？是要求它们相切于这个点吗？
: --来自微水木3.5.11
--
FROM 58.213.234.*