这样是不是直接一点：

1、先证f(x)是严格单调减函数：
对任意 x' 小于 x，取y使得 xf(y)+yf(x)小于等于2成立，
则 x'f(y)+yf(x') 大于 2 ，否则对 y 有 x 和 x' 使得不等式成立。
所以 x'f(y)+yf(x') 大于  xf(y)+yf(x)
所以 f(x')>f(x)

2、如果存在某个 s 使 f(s)小于1/s，
   对 x=s，存在 y=s，有 xf(y)+yf(s)小于2；
   取 y'=s+(s^2)[1/s-f(s)]大于s，有 f(y') 小于 f(s) 小于 1/s
   所以 xf(y')+y'f(x) 小于 sf(s)+{s+(s^2)[1/s-f(s)]}f(s)
                      小于 1+1-[1-sf(s)]^2
                      小于 2
   即对应 x=s 有不只一个y使得不等式成立，矛盾。
   所以对任意 x 有 f(x) 大于等于 1/x

3、如果存在 s 使得 f(s) 大于 1/s，
   对任意y，sf(y)+yf(s) 大于 sf(y)+y/s
                        大于等于 s/y+y/s 大于等于 2
   即不存在 y 使得不等式成立。

所以对任意 x 有 f(x)=1/x

【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 第二题：
: 令y=g(x)，使得对于每个x，有唯一的y 令 xf(y)+yf(x)<=2
: 1、可以证明  g(g(x))=x，否则，如果存在 s，使得 g(g(s))!=s
: ...................
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