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- 主题:一道几何圆题
- 上海初中夏令营数学的一道题。大家看看怎么证明。
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FROM 114.93.60.168 - 【 在 hound 的大作中提到: 】
: 上海初中夏令营数学的一道题。大家看看怎么证明。
做了2小时，给硬算出来了，应该有更简洁的方法，想不出来
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修改:lt918 FROM 38.175.102.*
FROM 38.175.102.* - 设O是AD与△ABC外接圆交点
由鸡爪定理：OB=OI=OC 直接就得出O是△IBC外接圆的圆心了
不用那么麻烦去倒角
△IBC的这个外接圆通常就简称△ABC的一个鸡爪圆
后面证相似 大概率答案上也就是你这种证法
那个中点的条件 已经强烈暗示是要用倒边的关系去证那组相似
对调和点列熟悉的人 一看这个图马上就能知道AM^2=MI*MG这组关系
ADIG四个点形成一个调和点列（AI/ID=AG/GD,因为BI是∠ABC的内角平分线 BG是∠ABC的外角平分线,I是内心 G是三个旁心其中的一个) M是AD中点
调和点列的4个基础性质里 直接就有AM^2=MI*MG这个性质
【 在 lt918 的大作中提到: 】
: 做了2小时，给硬算出来了，应该有更简洁的方法，想不出来
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修改:calculus2000 FROM 111.194.202.*
FROM 111.194.202.* - 太强了，学习了。上网看了半天调和点列才知道大佬在说啥，原来还有这么美妙的特性。确实，如果知道这个，那这题就简单了。地老的几何知识还停留在初中时代?
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 设O是AD与△ABC外接圆交点
: 由鸡爪定理：OB=OI=OC 直接就得出O是△IBC外接圆的圆心了
: 不用那么麻烦去倒角
: △IBC的这个外接圆通常就简称△ABC的一个鸡爪圆
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: 后面证相似 大概率答案上也就是你这种证法
: 那个中点的条件 已经强烈暗示是要用倒边
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 12」
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FROM 223.104.40.* - 楼上调和点列段位可以。
不熟悉的，可看下我的解法。
三角形BIC的外接圆为圆O，简单计算角BIC=角BEC=90+1/2A,角BOC=180-A，ABCO四点共圆，易知ADO共线。三角形BOD相似于AOB，BO^2=OD*OA=OD*(OD+2MD).ME*MB=MO^2-BO^2=(MD+OD)^2-OD(OD+2MD)=MD^2=MA^2=>三角形AME相似于BMA，角AEM=1/2A。所以角AEC=AEM+MEC=90度。同理AF垂直于BF。角AHE+HCB=AFE+EFB=90度，所以AH垂直于BC。
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 上海初中夏令营数学的一道题。大家看看怎么证明。
: https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYanJiu/4192/266/large "单击此查看原图"](https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYanJiu/
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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修改:hound FROM 117.144.205.228
FROM 117.144.205.228 - 很多竞赛题所谓精妙的解法
无非就是站在珠穆拉玛峰上 在高视角模式下的俯视碾压而已
调和点列 调和线束（交比） 调和四边形 完全四边形这些 在中学（含高中）竞赛 是不能直接用的超纲知识 但在IMO都可以直接用
虽然不能用 但搞竞赛的中学生肯定还是要熟练掌握 遇到题目的时候 无非就是把已知的那些调和性质在试卷上证明一遍
知道结论去证一遍 比完全不知道结论节省的时间要多很多
类似的还有什么 反演 射影 配极 再加上调和 这些都是搞竞赛的初中生要熟练掌握的
另外 竞赛培训老师还会教学生们上百种各种各样的构型 套路
正因为如此 所以中国的中学生在IMO上基本上都能如鱼得水
我把这题给我家初中生的娃看 他看到那个中点第一感觉也是用调和来处理
【 在 lt918 的大作中提到: 】
: 太强了，学习了。上网看了半天调和点列才知道大佬在说啥，原来还有这么美妙的特性。确实，如果知道这个，那这题就简单了。地老的几何知识还停留在初中时代?
: 发自「今日水木 on iPhone 12」
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修改:calculus2000 FROM 111.194.202.*
FROM 111.194.202.* - 感觉作ABC外接圆也可以？
MEHF四点应该共圆.
【 在 hound (hound) 的大作中提到: 】
: 上海初中夏令营数学的一道题。大家看看怎么证明。
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发自xsmth (iOS版)
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※ 修改:·nisus 于 Dec 25 13:45:32 2023 修改本文·[FROM: 123.120.168.*]
※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 123.120.168.*]
修改:nisus FROM 123.120.168.*
FROM 123.120.168.* - ∠MEH=∠MFH=B/2 + C/2
所以这四点肯定不共圆
【 在 nisus 的大作中提到: 】
: 感觉作ABC外接圆也可以？
: MEHF四点应该共圆.
: 【 在 hound (hound) 的大作中提到: 】
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FROM 111.194.202.*