折腾了一上午

(6/5)^(sqrt(3)) > (5/4)^(sqrt(2))
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修改:iwannabe FROM 27.38.197.*
FROM 27.38.197.*

根据单调性可以算，但是没有太简便的方法。
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 折腾了一上午
: (6/5)^(sqrt(3)) > (5/4)^(sqrt(2))
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FROM 114.212.205.*

构造函数f（x）=√1+xln（1+x）+√1-xln（1-x）
这函数在（0,1) 单调递增 且f（0）=0
取x=1/5就是要证的这个不等式
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 折腾了一上午
: (6/5)^(sqrt(3)) > (5/4)^(sqrt(2))
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修改:knup FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*

有根号有对数，不容易证明单调。

不如取 f(x)=(1+x)[ln(1+x)]^2 - (1-x)[ln(1-x)]^2, f(0)=0;
f'(x)=[ln(1+x)]^2 + 2ln(1+x) + [ln(1-x)]^2 + 2ln(1-x), f'(0)=0;
f''(x)=[2ln(1+x)+2]/(1+x) - [2ln(1-x)+2]/(1-x)
      =2[(1-x)ln(1+x) - (1+x)ln(1-x) -2x]/(1-x^2)
      >2(x^3)/(1-x^2)>0
所以 f'(x) > 0，所以 f(x)>0
(1+x)[ln(1+x)]^2 - (1-x)[ln(1-x)]^2 > 0，
所以 sqrt(1+x)ln(1+x) > sqrt(1-x)ln[1/(1-x)]，
然后取x=1/5。

【 在 knup 的大作中提到: 】
: 构造函数f（x）=√1+xln（1+x）+√1-xln（1-x）
: 这函数在（0,1) 单调递增 且f（0）=0
: 取x=1/5就是要证的这个不等式
: ...................
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FROM 120.229.210.*

看到一个比较巧妙的证明
x>1  ln(x) > 1-1/x  
f(x)=2(x-1)-(x+1)ln(x)  f'(x)=1-1/x-ln(x)   f(1) = 0, 所有 x>1=>f(x) < 0
=》2(x-1)-(x+1)ln(x) < 0
考虑函数

f(x)=sqrt(x)lnx/(x-1)  x > 1

f'(x)=(2(x-1)-(x+1)lnx)/(2qrt(x)(x-1)^2 )   < 0

所以f(6/5)>f(5/4) 化简即得 。


还有个思路是可以算 f(x)=x(ln(x))^2的单调性，这个函数比较有意思，算到好几重微分
才能拿得到结果


【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 直接暴力算，计算量也不算大：
: 等价于证明 1.2^[sqrt(1.5)-1] > 1+1/24
: 等价于找到一个 x，满足
: ...................
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FROM 119.139.197.*