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- 主题:来一道计算题
- 如图 直角三角形ABC ∠B=90°内切圆在三边切点为D、E、F AD交内切圆于另一点P PF⊥CP
求cos∠BCA的值
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.* - 最好发图片哦！看得很难受！
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FROM 106.80.162.* - 4/5
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 如图 直角三角形ABC ∠B=90°内切圆在三边切点为D、E、F AD交内切圆于另一点P PF⊥CP
: 求cos∠BCA的值
: https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYanJiu/6959/728/large "单击此查看原图"](https:
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 39.144.44.228 - 贴下我的解法：
易得∠FPD=∠DPC=pi/4,∠FDP=∠AFP=∠DCP（FPCB四点共圆）
所以△AFP∽△ADF，△FDP∽△PDC，
AF/AD=FP/FD=PD/DC => PD*AD=AF*DC, 有AP*AD=AF^2，所以AD^2=AF^2+AF*DC=AF(AF+DC), c^2+(p-b)^2=(p-a)(p-a+p-c)=>a:b:c=4:5:3, cos∠BCA=4/5
或者
tan∠PCB=2r/(a-2r)=(a+c-b)/2(b-c), tan∠ADB=tan(pi/4+∠PCB)=(a+b-c)/(3b-3c-a) = AB/BD = 2c/(a+c-b) => a:b:c=4:5:3
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FROM 61.152.216.52 - 很好
我主要想看看 这题不用调和四边形性质能不能搞出来
你这解法恰好不用调和
我一看这图 马上就想到调和
也就是 PF/FD=PE/ED
由 PF/FD=PD/DC（易知PFD∽PDC）
∴PE/ED=PD/DC
结合∠EPD=∠EDC
△EPD∽△EDC
进而PE∥DC
设CP与内切圆交于另一点G
则∠FDP=∠DCP=∠EPC=∠GEC=∠DEC-∠DEG=90°-C/2-45°=45°-C/2
由PF/FD=PE/ED 和圆内正弦定理
∴sin(45°-C/2)/sin45°=sinC/sin（90°-C/2)
即cosC/2-sinC/2=2sinC/2
解得cosC=4/5
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 贴下我的解法：
: 易得∠FPD=∠DPC=pi/4,∠FDP=∠AFP=∠DCP（FPCB四点共圆）
: 所以△AFP∽△ADF，△FDP∽△PDC，
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.* - 这些题的出处？看风格和图片，像一个地方的
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 如图 直角三角形ABC ∠B=90°内切圆在三边切点为D、E、F AD交内切圆于另一点P PF⊥CP
: 求cos∠BCA的值
: https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYanJiu/6959/728/large "单击此查看原图"](https:
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 39.144.44.228 - 没什么特别具体的出处
无非就是些竞赛题 具体什么竞赛没太关注 关注到的就直接标记出来了
还有一些 是自己辅导的时候 偶然发现的一些性质 例如上面那道题 就是我编的
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 这些题的出处？看风格和图片，像一个地方的
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*