【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 标  题: Re: 函数恒成立
: 发信站: 水木社区 (Thu Jan  5 10:23:15 2023), 站内
:
: 两个漏洞：
: 1、f'=0 时不一定有极值，还要f'在零点左右邻域变号才有极值，如果左右邻域同好就没有极值。比如都＞0，那么f在左邻域上是个增函数、右邻域上也是个增函数，这个0点是拐点但不是极值点。
有道理，可以将补叙中的极值判别说明提前，且排除驻点。
:
: 2、要先证明 b 越小 f 的极小值越小，才能用 b^2=-4a 代进去算。
这里值得深究。

从f'性态看，取Δ=0，是f'=0的重根态。
更正1的补叙，按x1.2=b/2讨论，f'[x1.2(1±δ）]的分析结果应该均<0。
说明Δ=0，左右极值点退化为单一驻点，且f(x1)=f(x2)=0。

再讨论根式条件，和b对f的影响，分析x1,2=[b±sqrt(Δ)]/2的非重根特性，
有：左根为极小值，右根为极大值。

所以，a为下确界，且可以取极限，采用b+δ方法，破坏重根条件，使双极值条件存在，且有左极小值的单调性保证极小值>0。
:
: 【 在 AGust2022 的大作中提到: 】
: :
: : 根据函数极值概念，有：
: :
: : f'(x)=a/x - x + b;  f'=0时有极值。
: :
: : 即a/x-x+b=0时，x解为极值点。
: :
: : 有x12=b/2 ±sqrt(b*b + 4a)/2
: :
: : 应有Δ≥0. 即b*b+4a>=0。有a>=-b*b/4.
: :
: : 特别地，考虑Δ=0时，有 a=-b*b/4，此时，x1=x2=b/2. <1>
: :
: : 则f(x)=f(b/2)=aln(b/2)-b*b/8+b*b/2=-(b*b/4)*(ln(b/2)-3/2).
: :
: : 由题设，f(b/2)>0，即ln(b/2)<3/2，b/2<exp(3/2),b<2*exp(3/2).
: :
: : <1>中，a=-b*b/4 > -[(2*exp(3/2)*(2*exp(3/2))]/4=-[4*exp(3)]/4=-exp(3).
: :
: :
: : 注：极值判别，x=b/2时，判别极值方法。
: :
: : x=(b/2)*(1-δ)时，
: : f'{(b/2)(1-δ)} = a/[(b/2)*(1-δ)]- (b/2)*(1-δ）+ b
: :           = (-b*b/4)*(2/b)(1+δ') - (b/2)(1-δ) + b
: :           = -(b/2)*(1+δ')-(b/2)*(1-δ) + b
: :           = -(b/2)*(2+δ'-δ)+b <0.
: :
: : 同理，f'{(b/2)(1+δ)}>0.
: : 函数有极小值。
:
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:                      绕树三匝，无枝可依
:
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: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 120.229.69.*]
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FROM 112.10.213.*