设IM与圆PMQ除M以外的的另一个交点为D’
设∠BAC=A ∠ABC=B ∠ACB=C
由两组平行 易知EB=BM=MC=CF(2组等腰三角形)
∠PBM=∠QCM=90°+A/2
∠CMQ=C/2  ∠BMP=B/2 ∠PMQ=∠CIB=90°+A/2
∠CQM=180°-∠CMQ-∠QCM=B/2
∴△PBM∽△QCM
∴PM/MQ=BM/CQ=CM/CQ
由∠PMQ=∠QCM=90°+A/2
∴△PMQ∽△MCQ
还易知△PMQ∽△MCQ∽△PBM∽△CIB（其实能得出M就是△LPQ的内心，不过没啥用,还知道△LPQ∽△ACB）
由∠BEP=∠CQF=B/2   ∠EBP=∠LBA=∠LCA=∠QCF
∴△EBP∽△QCF
∴EP/QF=EB/QC=CM/QC=CI/BI
由M为中点可知 BIsin∠BIM=CIsin∠CIM
∴EP/QF=sin∠BIM/sin∠CIM=sin∠PMD’/sin∠QMD’=PD’/QD’
又有∠FPD’=∠FQD’（外角 内对角）
∴△EPD’∽△FQD’
∴∠EDP’=∠FD’Q
∠EMF=∠PMQ=180°-∠PD’Q=180°-∠ED’F
∴D’EMF四点共圆
即D’和D重合
Q.E.D

【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 锐角△ABC M为BC中点  I为内心 L为外接圆弧BAC（注意是含A的弧）中点 过M平行BI的直线交AB于E 交LB于P
: 过M平行CI的直线交AC于F 交LC于Q
: 圆PMQ和圆EMF的另一个交点（除M）为D
: ...................
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FROM 111.199.185.*