- 主题:一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)
一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
--
FROM 49.77.157.*
无理数不好证明吧。
例如，f(有理数)=0
f(无理数)=1
是符合题设的。
【 在 zxf 的大作中提到: 】
:
: 一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
#发自zSMTH@如有雷同 纯属巧合
--
FROM 117.129.70.*
f0=0
fx=-f-x
fx是任意周期函数，应该能推出fx=0
【 在 zxf 的大作中提到: 】
:
: 一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
#发自zSMTH-v-@钛星
--
FROM 111.199.248.*
任取柯西方程的一个非线性解f1，不妨设对任意有理数q，都有f1(q)=kq
定义f2(x)=f1(x)-kx仍然是柯西方程的非线性姐，满足f2(1)=0
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
--
修改:gtgtjing FROM 111.203.106.*
FROM 111.203.106.*
f(x)=0，x是整数；
f(x)=x，x不是整数；
构造这个一个函数，可以作为反证
--
FROM 111.206.94.*
谢谢
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 任取柯西方程的一个非线性解f1，不妨设对任意有理数q，都有f1(q)=kq
: 定义f2(x)=f1(x)-kx仍然是柯西方程的非线性姐，满足f2(1)=0
--
FROM 49.77.157.*
你这样两个无理数a、b作参数就等于2了，不论a+b为有理数还是无理数，f(a+b)都不等于2
【 在 newre 的大作中提到: 】
: 无理数不好证明吧。
: 例如，f(有理数)=0
: f(无理数)=1
: ...................
--
FROM 114.246.237.*
那就是反证证明了
【 在 olddognewwit 的大作中提到: 】
:
: 你这样两个无理数a、b作参数就等于2了，不论a+b为有理数还是无理数，f(a+b)都不等于2
: 【 在 newre 的大作中提到: 】
: : 无理数不好证明吧。
: : 例如，f(有理数)=0
#发自zSMTH@如有雷同 纯属巧合
--
FROM 123.168.113.*
这个函数连续吗？
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
--
FROM 111.196.229.*
取b=δ，有：f'(b)=lim(δ->0)|[f(b+δ）-f(b)]/δ=lim(δ->0)|f(δ)/δ。
可见，任意点的导数为0处的导数。
若该导数存在，函数处处连续，则f'(x)=C。=> f(x)=Cx+C1.
f(N)=Nf(1)=0，整点处函数值为0. C1=0.
f(1)=f(N)=1C=NC=0, C=0.
f(x)=0.
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 一个函数满足f(a+b)=f(a)+f(b)，对于任何实数a和b都成立，且f(1)=0，能证明f(x)=0吗？
--
FROM 112.10.212.*