这是初学微积分/极限的同学的通病，包括我，
或许我比你更夸张，高中刚刚接触极限时，压根儿不信这个东西是准确的，是客观存在的。
本科时高数也受到很大影响，基本听不进去，因为不信啊。
后来无意中在网上看到一句话，豁然开朗。
说古希腊人没有无穷小量的概念，所以他们的极限思想很差劲。
所以，微积分的关键点就是无穷小量。
你说的一个曲线怎么能看成很多小段的叠加，其实不是小段，而是点，
因为这个曲线是由函数描述的，每个点都符合函数的解，
每个点都参与了积分计算，自然能等同。

【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度，可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值，为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢？
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楼主的意思，把曲线的每段看作直线，直线的长度与这一小段曲线的实际长度肯定是有误差的。这样每一段的误差加起来有一个总的误差。微积分真正告诉我们的是，这个总的误差是随着你分割的段数增加而减小到零的。举个直观的例子，你可以把一个直径为1的圆等分成8份，计算直线段的总长度，然后再等分成16份，32份，...，同样计算直线段的总长度，你会发现越往后，份数倍增以后，总长度的变化越小，并且越来越趋近某个数。这个数就是圆的周长，每一步都与这个数有点误差，但是当你不停做下去的时候，总能得到一个足够准确的数值，这个数值就是圆周率。
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这就是柯西等人搞极限定义的意义所在吧

牛逼顿刚开始没搞那么严格
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