- 主题:微积分里的“牛角尖”
这是初学微积分/极限的同学的通病,包括我,
或许我比你更夸张,高中刚刚接触极限时,压根儿不信这个东西是准确的,是客观存在的。
本科时高数也受到很大影响,基本听不进去,因为不信啊。
后来无意中在网上看到一句话,豁然开朗。
说古希腊人没有无穷小量的概念,所以他们的极限思想很差劲。
所以,微积分的关键点就是无穷小量。
你说的一个曲线怎么能看成很多小段的叠加,其实不是小段,而是点,
因为这个曲线是由函数描述的,每个点都符合函数的解,
每个点都参与了积分计算,自然能等同。
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 14.154.3.*
只要曲线能微分,无限小线段的长度,就是严格等同于曲线长度,除非是不可导的曲线,比如魏尔施特拉斯曲线。
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 39.184.39.*
楼主的意思,把曲线的每段看作直线,直线的长度与这一小段曲线的实际长度肯定是有误差的。这样每一段的误差加起来有一个总的误差。微积分真正告诉我们的是,这个总的误差是随着你分割的段数增加而减小到零的。举个直观的例子,你可以把一个直径为1的圆等分成8份,计算直线段的总长度,然后再等分成16份,32份,...,同样计算直线段的总长度,你会发现越往后,份数倍增以后,总长度的变化越小,并且越来越趋近某个数。这个数就是圆的周长,每一步都与这个数有点误差,但是当你不停做下去的时候,总能得到一个足够准确的数值,这个数值就是圆周率。
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FROM 112.123.12.*
无限接近就是等于
无限接近的情况下,“线段长度”就不是近似值了
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 123.112.218.*
这就是柯西等人搞极限定义的意义所在吧
牛逼顿刚开始没搞那么严格
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FROM 114.241.228.*
因为有两种类型的曲线
一种曲线在搞小线段近似求和的时候,小线段长度趋于0时,总长度收敛于一个常数,这种曲线是好的,我们能用这个方法求长
另一种曲线,做这个操作时,总长度求出来不收敛,这种曲线是不好的,我们不能求长
后一种曲线的例子:百度 科赫雪花
还是我专业,我一讲楼主保证能懂
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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修改:SunyataX FROM 180.137.56.*
FROM 180.137.56.*
你知道极限的理论吗?你针对这种曲线构造的折线长度得存在极限才行,有些曲线是不可求长的,你没法用折线长度来逼近
【 在 sopholess (sopholess) 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
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: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 223.104.38.*
重点就是“极限”
误差越来越小的近似,它的极限就是准确值
有限个小线段的长度和是近似值,无限个小线段的长度和,那就是极限了,就是准确值
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 117.143.172.*
要充分理解“无穷”这个概念,这是穿越真实和虚拟的唯一通道。
【 在 sopholess (sopholess) 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
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: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 14.154.13.*
这就是0.9的循环就是1
【 在 sopholess 的大作中提到: 】
: 求一段曲线的长度,可以看成无限多个小线段的长度之和。
: 但是线段的长度是一个近似值,为什么无穷多个近似值之和是一个准确值呢?
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FROM 222.20.193.*