能不能相遇要看角速度，因为杆不是一个点，是一长条。

你质点第一次遇杆的那个点，后来的竖直速度当然一直比质点慢；但，杆上离O更远的点，当时的竖直速度比质点快，后来有可能和质点相遇。

另外你说“质点正下方对应的杆上的点在竖直方向也在加速，而且加速度越来越大”
这是不对的，过竖直线之前，杆上所有的点在竖直方向都是减速。


【 在 nkai 的大作中提到: 】
: 没毛病啊，我说的正下方杆上的点竖直方向的线加速度是越来越大的，
: 你是以质点从角速度分析，我是从质点在竖直方向与杆的交点的运动来分析
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修改:laofu FROM 120.229.36.*
FROM 120.229.36.*

有图就好理解了。
质点自由落体过程中，与水平方向的张角
tan(θ)=gt2/2L。
确定某个L后，画出θ-t图，就是红色曲线，极限值π/2。




L大小不同，不影响曲线的形状，只是会在x轴有个缩放关系。
而ω(t)=θ'=4gLt/(g2t4+4L2)，是粉色曲线。
根据ω'=0可以得到当θ=π/6时，ω最大。（与本题无关，发现是个特殊角，记录一下）

而杆子匀速旋转的θ-t图，就是一条经过原点的斜线。
当杆子转速为某个ω0时，就是绿色直线，它刚好与红色曲线相切，此时杆子与质点只有一次相遇，记相遇时刻为为t0。如果ω<ω0，就是蓝色直线，那么除原点外必然还存在两个交点，也就是有两次时刻，质点与杆子的角度相同，也就意味着相遇（如果杆子是无限长的话）。

当杆子是有限长的R时，从质点与杆子自由端相遇的条件，可以得到
gt2/2=sqrt(R2-L2)
即t = sqrt(2sqrt(R2-L2)/g)
所以当给定R后，总能算出相应的接触时刻t。而只有当t<=t0时，直线与红色曲线的交点，才是出发后的第一个交点，也就是第一次相遇。这就是L与R之间的限制条件。

所以关键是算出绿色直线与红色曲线的交点时刻的t0。当给定L后，这个交点的t0就是个跟L有关的数值，貌似没有解析解，我算不出来。
此时，只要列出不等式
t = sqrt(2sqrt(R2-L2)/g) <= t0，即可算出R-L的关系。不过这个关系的方程式可能会复杂了。
定性分析的话，因为R-t是递增的，所以给定某个L，R会有个上限。或者给定某个R，L有个下限。也就是质点放置的位置，必须足够靠近自由端到某个位置才行。其中L/R的比值，不是固定的，而是跟R有关。

所以原题确实有点缺陷，不过中学阶段，我理解出题人的意思，应该是不考虑过程中的碰撞。可以理解为杆和质点在墙壁上的投影的相遇。

【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
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FROM 122.241.67.*

给定了L，就确定了红色曲线。同时，也确定了绿色切线。绿色切线代表了某个ω0，是匀速旋转的无限长的杆，在第一个π/4能与质点发生相遇的角速度的最大值。切点对应的横坐标，设为t0。
当又给定了R时，根据t = sqrt(2sqrt(R2-L2)/g)，此时等于确定了发生相遇的时刻t。横坐标t往上的竖线，与红色曲线有个交点，连接原点与交点并延长，就是蓝色直线，它的斜率就是所求ω。至于是否满足首次相遇，要看这个交点，是蓝线与红线的第一个交点，还是第二个交点。
或者比较t与t0的大小也可以。如果t比t0小，就是给定L、R可以满足第一次相遇。否则，就是在之前，已经发生过相遇。

从你的回复，我怀疑你是否看错了图中蓝线与红线交点的含义。两个交点，并不是说有两个ω，而是说以某个ω旋转的杆子（以及它的延长线）会在两个时刻，与质点转到同一个角度（说明相遇）。

或者可以把杆长，视为蓝线长（严格上不是正比的，只是一一对应关系）。首先给定L后，就给定了红线，同时也确定了绿切线。然后给定R等于给定一个蓝色线段，一端在原点，我们只要把它另一端搭在红线上，就满足了题意。搭好后的蓝线斜率就是所求ω。至于这样的LR，是否满足首次相遇，就看蓝色端点搭在红线的那个部位，只有搭在与绿线切点的左下方，才满足首次相遇。

【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 谢谢回复，你这个解答在R未知的情况下是很完美
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: 不过原题是R、L都是已知，只ω未知，题目问的就是ω。
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FROM 115.213.206.*