先回答关于“体积”的问题，其他问题等一会儿闲下来再答。

首先，“以黑洞视界外距离视界无限小的的地方，相对视界表面静止的地方为坐标系”，这个叙述不是很清楚，这坐标系具体怎么定义？能否够给出其定义式或者跟常见的（t, r, /theta, /phi）坐标的变换式？

其次，关于弯曲时空中的“体积”这个问题之前已经有不少讨论了，具体如下：
1，平直时空中的“体积”原本的定义肯定是不能直接用的，需要拓展。
2，通过观察，可以看到，所谓“体积”，其本质就是时空中某个类空的超曲面中的一个更低维的封闭超曲面内部的累次积分。
3、积分时所用的度规，应为该时空的度规在该类空超曲面上的诱导度规。

第三，具体到史瓦西时空这个特例中：
1、在常见的（t, r,/theta, /phi）坐标系中，在视界内，t坐标对应的矢量场（偏/偏t）变为类空的，而r对应的矢量场（偏/偏r）变为类时的。所以一个等t面就不再是一个类空超曲面，进而也就无法去定义其中的“体积”。
2、但是前面也说了，r=2M（即“视界”）处的奇性以及t、r矢量场的奇怪性质都是可去的，通过坐标变换，可以找到在对应r=2M处没有奇性的坐标系，比如Lemaitre坐标、Kruskal坐标等。
3、在这样的坐标系中，坐标矢量在视界内外的区域中的时空性质也没有变化。所以，在这些坐标系中，在视界内的区域的“体积”，就可以用如前面所述的方法去定义和计算。即，在该坐标系的标记下，取类空超曲面，求其与视界的交，得某一时刻的视界，然后用史瓦西度规在该类空超曲面上的诱导度规计算积分得该时刻的“体积”。

第四，当然，很自然的，这里的体积，是一个坐标依赖的量，不同坐标系计算所得的体积有可能是不同的。其中，在自由落体坐标系中计算所得的体积也是最“自然”的那个形式。





【 在 runfast 的大作中提到: 】
: 我不像你是科班出身，之前完全没这方面数学基础，当然只能从微分几何鼓捣开始。
: 难道研究相对论还有其他更好的数学工具？都得用闵可夫斯基的微分几何倒腾吧？
: 至于你说微分几何里没有相对论……这我不敢苟同。
: ...................
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