景之形势 第三

    求食分之几何，必先求景之几何。
    所谓景之几何，就是以日月地之大，得景之形势，以日月地相距之远近分数，得景之变易大小分数。
    此所谓景之形势。后考其变易之势，得景分以定食分焉。有二章。

一说：
    二体相等，其影平行而无穷；明小暗大，其景渐展而无穷。
    论相等者，证以平行之切线也。


【图1】
    如图，甲乙两球相等，丙巳、丁戊为两球之切线，与两球之径丙丁、巳戊遇于切点。
    皆为直角，则互为平行线。
    又球相等，则径之长短也相等，以遇丙巳及丁戊，都是平行线（几何一卷13题）。
    若两球之周遭切线无数，皆同此论，则引之至庚辛，以迨无穷，终平行，终不能相遇，
    而其形为长圆柱之无穷体。

    论明球小于暗球，则推以三角形相似之比例也。


【图2】
    如图，乙丙为小明球，丁戊为大暗球。两球之切线丁乙及戊丙，引长之过小球，
    必相遇于甲，成甲丁戊三角形。又从丁戊底作巳庚平行线，在大球之外，
    成庚甲巳三角形，与甲丁戊相似。则甲巳庚角与甲丁戊角相等，其各边各角皆相似，
    而甲丁与丁戊之比，与甲巳与巳庚之比相等。反而更之，巳庚与丁戊之比，
    与甲巳与甲丁之比相等。则巳庚也长于丁戊，越远越长。
    可见大球之影，渐远渐大（几何六卷4题）。
    再论丁戊线之内外角。则再内为锐角，在外为钝角。所以引切线向内，过小球必相遇；
    引之向外，越远越大，终不相遇。而其形为无限长、无限广之角体。
    又因两球所居远近不同，其景之张合，随而变易。所以两球相近，则乙丙底线为小，
    其景越狭，而乙甲丙角形越短；两球相远，则底线为大，其景越宽，而角形越长。

    今验诸日食，有食分，而所历时刻不同的原因，就是月景在地面广狭不同。
    月与日会，月在日与地之间。或者月近地而日在远，则目之见界，过月周至日体，
    其界广，日过迟，其见时刻多；或者月远地而日反近，则目之见界，过月周至日体，
    其界狭，日过宿，其见时刻少。
    以前图明之，目在甲，乙丙为月体，丁戊为日体。切线甲丁及甲戊为目所见之界。
    若日在近为丁戊，即从丁过戊，道近行速，其食时寡；若在远为巳庚，从巳过庚，
    道远行迟，其食时多。都是太阳有不同心圆，而太阴又有小轮的原因。

二说：
    日月地三体，大小不同。
    所有暗体出角景，施光之体必大于暗体。否则，其光不能照暗体之大半，而使其景渐小
    以趋于尽也。
    试观月食时，月体近地，则入大景；远地，则入小景，越远越小，必至于尽。怎能不信
    日体大于地体呢？假设日体与地体或者相等，则景应该也相等、或小，则应该渐大，
    又当皆为无穷之景。遇望时，月体必不能出大影之外，不应有不食之望了。
    之所以有不食，是因为地景之越远越锐。月食于地景之中，又有全而且久的，是因为
    月径更小于景，而景小于地；地景之远而更锐，是因为日大于地。
    这是以景理推论三体之大小，略可明矣。
    若又以日体之大推月地之景，则更有法，可以考察其大小之比例也。
    昔人因太阳照地所生之景，及其远近，其视径，时时不同，又以较于他体，得其实体之大。
    说法见月离历指终。此独用视径，定食时刻分之数，其论实体为景与食之原因，略举一二如下：

    几何原本论三角形，于一边之两界出两线，再作一三角形在其内，则内形两腰相加，
    必小于相对两腰；而后两线所作角，必大于相对角。


【图3】
    如图，甲乙为太阳之径，丙为目，从远视之；丁也为目，从近视之。这就是所谓内外两三角形了。
    今先以线论，因为内形之甲丁、乙丁两腰，小于相对之甲丙、乙丙两腰，则所作丁角，比相对之
    丙交，也近于共用之甲乙底，近则见大。所以丁目视甲乙日径，必见大于丙目所视之甲乙径。
    然后以角论，因为内两线所作丁角，大于相对丙角，则此内角所对线，也似大于外角所对线。
    而丁目所见之甲乙，大于丙目所见之甲乙，是太阳视径不同的原因也。

    求太阳实体之大。
    第谷设最高最低之中处，得其距地1150倍地半径。全数10万，其半径15分30秒，得正弦451，
    以三率算法，推其全径，得地之全径5又14/75，相当于389/75。又以其径与其周之比例，
    得太阳体之立方58863869，地球之立方421875。其终数得140弱，为太阳大于地球之倍数也。
    这是其照月地生角体锐景之源头。
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