食分多寡之原 第三

    推日食分数，则太阴距黄道之视度，日月两视径之半，以及三视差，此并有其本论，后篇详之。
    此求月食分数，则用太阴之实距黄道度，及其视半径、地景半径，即可得之。
    今先论日月景之各半径，然后定食限及食分也。

    视半径所繇变易
    凡圆球之去人远，则目视之为平面。欲测其大小，不依其形，依其径也。
    目视之视径，虽以平行线受其像，然而相距有远近，即所测之大小，随而变易。近则见大，远则见小。
    球生景，其理准此。
    故受光之体，小于施光之体，则其景亦随相距远近而有变易。距远者景矩而长，距近者景细而短也。


【图1】
    如上日月食合作一图，甲为地球，太阳在最高为丁，在最低为戊；太阴日食时，在其最高为巳，在其最低为庚；
    太阴月食时，在其最高为壬，在其最低为辛。
    若从最远之太阳周癸丑引直线切地周乙丙，必相遇于卯；最近之太阳周子寅，切地周者，必遇于辰。
    子寅辰在癸卯丑限内。在内者细且短，在外者矩且长。因为太阳距地远近不同，故也。
    论太阴在其最高巳，目依甲未、甲午两线视之；若在最低庚，又依甲申、甲酉两线视之。可见两所之
    大小不同。若在壬、在辛，其理一样。

    以上讲日月地景三视径能为变易，则日月最高最低相距之远近为其原因。
    自此而外，还有两个原因：一为地所出之蒙气，随地不一；二为人所稟之目力，随人不一。

    居日月与目之间，气厚则能散日月之光，使易其本象。如玻璃、水晶等体厚光澈，以照他物之象，
    能改易之，是以人所见日食时，太阴掩日之视径，实大于太阳之视径，或相等。一遇厚蒙之气
    （蒙之厚薄，或本地固然，或因时增减），即太阳之光体，因而展拓，比于依法推步之视径，
    每多不合。故全食时，四周亦有金环也。若蒙气微薄，则月之视径，能掩日之视径，全食时，
    书晦星见矣。

    其在月也，遇蒙起亦绕有余光，其初亏复原，光曜展拓，亦能侵入地景，使食时先后，
    稍损于推步之加时也。欲明其理，姑以数事徵之。
    试用一平边尺切目，窥月体，则白月之光，能侵入于尺之按体；当月之处，似有阙焉，此其一也。
    生明之月，其有光之半周，大于无光之半周，光之两端，芒角犀锐，似欲包其暗体，至日食时，
    暗体入日，日之光体不收，光以让月，反舒光以拒月，故其两端，不作瑞骄傲，而作钝角也。
    此在晴明时，蒙气微薄，尤不免尔，况浓切厚乎？此又其一也。
    日轮西没，将及地平，适遇云气，全轮若为停轨，累测不移，少选则忽焉而入，又其一也。
    况日食时月之暗体、月食时地景之角体，全居蒙气之中，蒙气所受，日光尤盛，四周皆能消景，
    则日食时，太阴居日目之间，其视径岂能大于日之视径而全掩日体，月食时，地景之角体岂不能
    稍杀于推步之实景，而损其初末之加时乎？

    若论目力，亦能变日月之各视径者，目力既衰，大光损之，每每易于见暗，难于见明。
    故月食时，较少壮之目，能先见月食侵周之景；若日食时，太阳见耀，初亏，不能遽见其阙也。
    西史第谷测月，每夕用五六人，皆用利眼能手，悉用大仪，种种合法，所测月径，趋求书一，
    乃经22测，得其径为31分者2，32分者6，33分者7，34分者6，36分者1。何故？
    大光射目，当之者利钝不齐，径之大小随异也。盖人目之难凭如此（月无大光，不能入于
    窥表通光之窍，需人目测，有此不齐。若日光透表，其有不齐，则是因为器之疏密）。


    定视径分秒之数
    古多禄某限日月地景三径之数：定太阳为31分20秒，不论最高最低，恒如是；
    太阴最大者，丁为35分20秒，最小者也是31分20秒；
    地景小者40分40秒，大者不过46分也。
    然而多禄某所当之时乃尔。待其后，太阳本天之心，与地之心，渐次相就，至于今，
    最高之去地，近于多禄某时；其最低，乃去地稍远。而太阳视径，遂不得过31分。
    太阳稍缩，则地景稍盈，亦不如从前得细而短也。
    所以第谷所立新法，定太阳之视径，在最高为30分，在最低为32分。
    若太阴，则虽距地同，所限朔望二时之视径，尤不同也。
    盖合朔时，月会太阳，四周环受其光，则此时全魄，小于望日之全光，几及1/4。
    所以月在最高，即相望时得径32分，朔时只有25分36秒；在最低，望时得36分，
    朔时得28分48秒。
    又第谷测候之地，其北极出地56度，清蒙之气甚厚，故推步交食，必依此径，乃可得合，什么原因？
    月望时，明光甚盛，蒙以厚气，光乃加显，径即似大；
    月朔时，遇日之大光，自己失光，而受光之蒙气，环圆照映，若或消减其魄，径即似小也。
    然此第谷所当之地乃尔，虽则食既，尤显金环，月不能全掩日体。
    若他方食既，则有书晦星见，虫飞鸟栖者，知一方所定，未可概诸寓内，以为公法也。

    假如崇祯2年己巳5月朔，日食。依新历，先推食甚2分多，至日食测得2分。若以第谷所限径，
    用之此日，即见食分数仅得1分10秒，谬于实测远矣。

    崇祯4年辛未10月朔，日食。新历先推食甚2分12秒，至日实测不及2分。若用小月径推算，
    则所得更少，不及1分也。视径因乎蒙气而为小为大如此，岂可强执一率，以概诸方乎？
    故欲定本地之日食分，必先定本地之蒙气差，以限本地之视径。又宜累验本地之食分加时，
    然后酌量雄安锡，蒙差视径，可得而定也。

    今所考求酌定者，太阳最高得径30分，在最低径31分；太阴不分朔望（蒙气消薄，故也）
    在最高，视径30分30秒，在最低，视径34分40秒；地景最小者43分，最大者47分。
    日月行最高最低处之间，视径亦渐次不一，故列表，左右并纪太阳及太阴自行宫度，
    以考日月地景，各相当之分数，是为视半径表。

    太阴视径差
    视半径表计太阴从其最高至最低，渐次加大也。若论蒙气，则南北二方，也有差别。
    西国之北，地滨大海，其气更厚。故月朔应减，月望应加，以改表中之半径。
    如北极高30度，其加减于半径10秒，高40度其加减30秒，过50至70极高度，则所加减更多，
    至6分以上也。
    中国北极出地，虽只有42度，半亦近海，故用加减数，如前所列。
    然需测验数食其果否，乃可执为恒法耳。

    地景视差
    地景半径之最小者，为43分，为今本表中，太阴自行0宫0度与相当者是也。
    继此渐大，至太阴自行6宫初候，其相当47分，则为最大。
    其求之有二法：一以测候；一以推步。
    然而两法所得，却又不同，则气能变景故也。
    以推步者，用太阳在其最高时，下照地球，所生景长，以为定率。若太阴过景之处，
    则依其远近，随时算之。如第谷当太阳在最高时，测其距地之远，得1182倍地半径；
    此所推全景之长，得252倍地半径又23/60，恒如是。
    若太阴在其最高，距地之远得58倍地半径又8分，欲求其所当地景者，先于全景内，
    减太阴距地之径数，余者为过太阴以外之景角（景角，就是景为角体也），得194倍地半径又15分。


【图2】
    如图，甲乙地半径定为60万，甲丙为全景，亦通为15143分（临算末加5位）。
    丁丙为过月以外之景角11655分（临算末加5位），而求月食相当之处，丁戊几何广。
    则甲丙与甲乙，比丁丙与丁戊，算得4551939。
    又甲丁戊直角三角形内，求丁甲戊角，为所限日窥丁戊之大。则甲丁为太阴距地远，
    通为分，得3488分。甲丁戊为直角，丁戊依前算得4551939。
    而甲丁与丁戊，比全数与丁甲戊角之切线，得1305，查表，得44分50秒，
    为太阴在最高时所过地景之半径也。
    若太阴在最低，求其食时过景之半径。
    用全景长如前，内减54倍地半径52分，余197倍地半径又31分，为丁丙直线。
    依前法算得4642804，为丁戊线，求角，
    以太阴距地之分3292为一率，丁戊线为二率，直角为三率，算切线为1410，查得48分28秒，
    为太阴在最低时所过地景之半径也。

    今表中所列地景半径，小者43，大者47。皆少于推得者，为月过地景，不论高低，
    皆受外光围迫，侵销其景，故也。
    论其实，则推步所得为真，然不可得见耳。若太阴在高低之间，求其过景者，依此法，
    随时求丁丙线推算也。

    以测候者，用前后两月食，择食之法，欲太阴去其最高最低距度相同，则其入于地景
    之大小也相同。但月距黄道不必相同，又不必全食。因以两距度及两食分，求得其所
    过之景径也。

    多禄某引周襄王31年庚子3月，其地距顺天府西81度，卯初时得见食，此时太阴交周
    得9度20分，距黄道北48分30秒，食全径3/12。
    又引周景王22年戊寅6月，里差同上，顺天府寅初时得见食，此时太阴交周得07度42分，
    距黄道南40分40秒，食6/12。


【图3】
    如图，巳乙戊丙圈为地景，两食为太阴所过乙甲丙线为黄道。
    第一食太阴在丁，第二食在戊，各依食分入景，为巳辛、为戊庚。
    其太阴之距度，为甲丁48分30秒，甲戊40分40秒。
    而甲戊与甲巳必相等（地景之两半径）。则甲丁减甲戊，余巳丁7分50秒（两距度之较）。
    又巳丁为月径1/4，而先得月径31分20秒，四分之为巳丁。令去减巳丁，所余为
    甲巳半景40分40秒。或以距度分与食分相较，则食差3分，与距度之差7分50秒，
    比全食12分与全月径31分20秒，亦以距度之差，推得其景也。

    
【图4】
    如图，两距度，一大于半景，一小于半景。亦用此比例，以求景。
    假如初食3分，得距度47分54秒，次食10分，距度29分37秒，食分之差7分，
    距度之差18分17秒。
    则7分与18分17秒，比全食12分与全月径31分20秒。
    今既食3分，即全月径1/4，为7分50秒，以减距度，余40分04秒，为地半景。
    又此食得10分，即月心至地景之周，得4分，也是全食1/3也。
    全以月径三分之，其一为10分27秒，以加距度29分37秒，亦得半景40分04秒。

    地景实差
    表中记地景差不及半分，恒减于地景。盖前所论之景实无差，或因蒙气有差耳。
    其有差者，太阴以其自行高低，有距地之远近，入于最中，时时不同也。
    又太阳居其最高，所生之景最大。过此渐向最低，距地渐近，即从地出景，
    渐小渐短也。
    故月食时，先以太阴自行，定地景之半径。又以太阳自行，求此实景差而减之，
    乃正得太阴过景之处矣。
    推算之法，设太阳先在最高，推所生景。又设在最低推所生景。得二景之最长最短。
    又设太阳先后距地同，而以先过景之径，比于后过景之径。其二径差，即表中之地景差。


【图5】
    假如丁巳为太阳半径，第谷所测，为甲庚地半径5又41分，依戊庚平行线，减丁戊地半径，
    余戊巳，得地半径4又41分。
    设戊庚为太阳在最高，距地之远1182倍地半径。则戊巳与戊庚，比甲庚与甲辛，
    得甲辛地景，与太阳在最高时，其长252倍地半径又23分。
    太阴在其最高最低之间，距地之远，得56倍地半径又43分，为甲乙。以减甲辛，
    余乙辛195倍地半径40分。
    以推月食之半景乙丙，则乙辛与乙丙，比甲辛与甲庚，得乙丙4651654（算法，以原数
    通为分，又于每率后加5位乘除之）。
    又求乙甲丙角，所限目窥乙丙之大。以太阴距地之远，依前法算得切线1364，查八线表，
    得46分52秒。
    又依此法，以太阳在最低距地之远1141地半径，推算地景为243倍地半径又38分，
    去减太阴在高低之间距地之径，余186倍地半径又45分。依前算得4599124，为乙丙线。
    再以太阴距地之远3403，推得切线1351，查得乙丙半景46分26秒。比前所得，差26秒，
    为地景之最大实差。其余者，以太阳自行距最高远近，依法次第求之。
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FROM 111.9.5.*