太阴无距度以视高差求南北东西差


【图6】
    依图，乙壬戊为子午圈，乙甲丙为地平，壬为天顶，丁甲戊为黄道，壬巳为高弧，太阴在辛，则辛巳为视高差。
    自黄极癸，出癸辛、癸巳两大圈弧，限辛庚为东西差，庚巳为南北差。
    此三角形，有巳庚辛为直角，辛巳为高差，再得高弧交黄道之角庚辛巳。
    则视高差辛巳之正弦，与南北差庚巳之正弦之比，等于全数与庚辛巳角之正弦之比。

    假如高弧交黄道之角庚辛巳得64度35分15秒，其正弦90324。
    视高差弦辛巳得58分36秒，正弦1704。
    算得正弦1539，查其弧，得52分54秒，为太阴南北差庚巳。此用正弦法也。
    
    或用加减算，求南北差。
    则以辛巳高差减庚辛巳角，余63度36分39秒，得余弦44446。
    又相加，得65度33分51秒，其余弦41368。
    两余弦相减，余3078，半之，得1539，为南北差之正弦也。

    或用线求东西差。
    则全数与庚巳南北差之割线之比，等于辛巳高差之余弦与庚辛东西差之余弦。
    或用角求东西差。
    则庚辛巳曲线三角形甚小，可用直线三角形法。其高差之正弦与东西差之正弦之比，
    等于全数与高弧交黄道角之余弦之比。
    
    假如用线推南北差52分54秒，得割线10001185，视高差58分36秒，其余弦998547，
    推得9999731，为余弦，得25分11秒，为庚辛东西差。

    再以角求东西差。则庚辛巳角之余弦42913，高差之正弦1704，算得731为正弦，
    也查得25分08秒，为东西差。

    或用加减算。则高弧交黄道角之余25度24分45秒，减高差，余24度26分09秒，
    其余弦92042，加高差，得26度23分21秒，其余弦89580。
    两余弦相减，余2462，半之，得正弦731，查得25分08秒，为庚辛东西差。

    太阴有距度以高差求南北东西差
    前题算有距视差法，简单了。又有更简单于此者。但依太阴时距南，时距北，分两图解之。


【图7】


【图8】
    如图，甲巳丙为子午圈，甲乙丙为为地平，乙丁为黄道，天顶在巳，太阴在子。
    则巳癸为高弧，子癸为高差。
    又辛当北极，北极圈为戊庚，负黄道极戊。
    自戊出大圈之弧戊壬，过丑，指向太阴实经度，而丑子为实距度。
    又出一大圈弧戊癸，至太阴视度癸。从癸作垂线至壬，得壬子癸三角形。
    而子壬为南北差，壬癸为东西差（丑壬、寅癸两弧小，所以壬癸可当丑寅）。
    欲求其几何，先依第一法，从天顶巳，连赤道极、黄道极，作巳戊辛三角形。
    形有两极相距之弧辛戊，有北极出地之余弧巳辛，有极至交圈交于子午圈之巳辛戊角，
    可推黄横距天顶之线巳戊。
    然后巳戊子三角形，有黄极距天顶之弧巳戊，有太阴出地高之余弧巳子，又有戊子，
    在第一图，为象限戊丑，加太阴实距度丑子之总弧；在第二图，为太阴实距度丑子之余弧。
    可推巳子戊角。
    然后子癸壬三角形，有高差弧子癸，有壬子癸角，有子壬癸直角，可推子壬弧，
    就是太阴南北视差。
    又本三角形，以子癸高差，子壬南北差，推壬癸东西差。

    假如第谷测太阴在玄枵宫初度56分，距南4度38分，日在申正50分。
    得太阴高弧9度20分，得高差54分20秒。其本方北极出地55度54分30秒。
    即升度为312度43分。去减鹑首初之升度，余为极至交圈交于子午圈之巳辛戊角，
    而巳辛及辛戊两弧皆不及90度。则巳辛戊为锐角。
    法，全数与第一弧之正弦，比第二弧之正弦与他数（各先得之数）；
    又全数与先得之数，比两弧所包角之正矢与他数（各后得之数），
    而后得之数，恒加于两弧较差之正矢，得第三弧之正矢。

    如前图，依第谷测巳辛戊三角形，求巳戊弧，则两道大距弧辛戊（第一弧）之正弦39915，
    其本方极高余巳辛弧（第二弧）之正弦5605，求得先得之数为22373。
    又巳辛角（两弧所包角）42度43分，得正矢26528，求后得之数为5935。
    以加两弧较差之正矢1696，得7631，为巳戊弧（第三弧）之正矢，查得22度31分41秒。
    以求巳子戊角。
    则巳戊子三角形内，全数与第一旁线之余割线，比本角旁次线之余割线与他数（各先得之数）。
    又两旁线较差之正矢，与对本角线之正矢相减，余为他数（各后得之数）。
    而全数与先得之数，比后得之数与本角之正矢。
    如前图，巳子（角旁次线）为太阴距天顶弧80度40分，余割线101342。
    戊子（第一旁线）为太阴距南加象限，共94度38分，余割线100328，算得101674，为先得之数。
    其两弧较差13度58分，得正矢2956。减巳戊弧之正矢763，得4674，为后得之数。
    依法算得4754，为巳子戊角之正矢，查得17度44分15秒。
    以求子壬弧，则全数与子癸高差弧之切线，比壬子癸角之余弦（壬子癸与巳子戊两交角相等）与
    子壬弧之切线。而子癸弧之切线1594，壬子癸角之余弦95248，算得壬子弧之切线1518，
    查得52分10秒，为太阴南北查之子壬弧。
    以求东西差。则全数与子癸弧之余弦9998751，比子壬弧之正割线10001151，与壬癸弧之正割线，
    算得9999902，为壬癸弧之正切线。查得15分10秒，为太阴东西视差壬癸或寅丑。


【图9】


【图10】
    又第二法，甲乙地平，甲丙黄道，戊癸高弧，丁黄道极，皆同前。
    此图加戊辛，为太阴实经度出地平高之余弧。
    而戊辛巳三角形内，又有太阴实高度之余弧戊巳，有太阴实距度巳辛，以此三边径推戊巳辛角，
    为高弧交太阴纬弧之角，其余角（前图）或交角（后图）为壬巳庚角。

    假如依前算，戊巳80度40分，得余割线101342。太阴距南辛巳4度38分，余割线1237947。
    算得125460，为先得之数，以本两弧之较差76度02分，得正矢75864，戊辛弧76度15分30秒，
    得正矢76245，以相减得281，为后得之数。
    又算得4760，为戊巳辛角之正矢，查得17度45分。
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