- 主题:一个简单的问题，实数范围内，有理数的数量多还是无理数多？
网上的说法各不一样。。。
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FROM 14.154.7.*
无理数多
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
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FROM 114.245.108.*
先定义多
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
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FROM 111.203.106.*
估计是lz来挖坑的
真要说起来，确实要看定义
比如规定无限集中元素的数量为+∞
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 先定义多
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FROM 117.143.146.*
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
有理数是可数无穷大，无理数是不可数无穷大
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FROM 103.27.24.*
早就有书籍探讨这个问题了。有一些不严格的证明可以说明无理数多
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
发自「快看水母 于 SM-G9810」
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FROM 223.104.170.*
[0,1]区间内的无理数比所有有理数加起来都要多
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FROM 111.206.94.*
如何证明呢？
【 在 dreamr 的大作中提到: 】
: [0,1]区间内的无理数比所有有理数加起来都要多
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FROM 14.154.7.*
首先无理数挑一个子集和有理数一对一
然后假设可以一一对应，用对角线法找出一个数，就矛盾了
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 如何证明呢？
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FROM 202.105.99.*
我惊讶的是网上的说法居然不一样。
比较基数用对角线法，Contor的经典证明。当然需要先熟悉一下势的双射定义，以及可数无穷多的基本性质。
一般是先熟悉证明有理数和自然数等势、进而所有可数无穷集都等势这种重要结论，然后用对角线法证明区间内实数不可数，再推论无理数不可数。
粗略的对角线法可以用0,1区间内无穷小数来直观说明。反设实数可数，将其无穷小数形式一行一个排成一列，取新数使得其第k位小数与数列中第k位不同，则该数与数列中所有数都不同，矛盾。（这个证明不是太严格，因为实数的无穷小数表示不唯一，需要额外做点技术处理。但核心思路就这样。）
除了基数还可以比较测度。有理数点是零测集，直观讲就是总长度为零，或者说取到有理数的概率为零。从这个角度看有理数不仅少，而且少得可怜。测度的主要概念是需要可列可加性，理解会更抽象些。
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
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: FROM 14.154.7.*
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FROM 114.246.236.*