- 主题:老师问什么是有理数
真是基础教育的悲哀。找了点资料，可以凑合看看
1）有理数的定义：我们把0和每一个正或负的整数或分数统称为有理数。
2）分数的定义：分数是两个地位不同依次称为分子和分母的整数的集合。这集合自身称为数，分子和分母是分数的两个项。
分子写在分母之上,中间用分线隔开,分子可以是任何整数,分母是0以外的任何整数。
3）十进分数定义：分子是整数、分母是10的幂的分数称为十进分数。
4）十进小数定义：对于十进分数,我们采用一种特殊的记法,接近于十进制中整数的记法，
当分子大于或等于分母时,把分子写下来,并记上一个小数点,使小数点之右方数字的个数等于分母的幂指数,或者说等于分母中零的个数.
当分子小于分母时仿此进行，但写下分子后，分母有几个零就在它左方添几个零,并将第一个零留在小数点左方。这样写的数称为十进小数。
小数点右方的数字是小数数字，它们的集合有时称为尾数，小数点左方全体数字组成的数是分数的整数部分。
5）无理数的定义：每我们定下一个方法把全体有理数划分成具有下列性质的两类,就说我们定义了一个无理数。
I.每一类都有数,且第一类的每一数小于第二类的每一数。
II.第一类没有一个数大于同类中所有其他各数，第二类没有一个数小于同类中所有其他各数。
定义了一个无理数的正是这分划法则本身。若用一符号例如一个字母A代表此数,这符号、这字母所代表的直到此刻只不过是分划法则本身.
【 在 happyyuans 的大作中提到: 】
: 课本上说的是，能写成分数形式的数叫有理数。
: 我还想请教你，pi/2 是分数形式吗？
: 我知道它肯定不是有理数，但是看上去它貌似是分数形式啊
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FROM 101.87.6.*
你理解个什么呀。
一个说法是描述性说法，一个定义。
定义才是严格的。
【 在 happyyuans 的大作中提到: 】
: 孩子说有理数包括整数和分数。
: 老师让看课本。我看了下课本，写着：能写成分数形式的是有理数。
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FROM 219.142.150.*
你连什么是分数都不知道哈哈
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【 在 tedxyz 的大作中提到: 】
: 我想问一句，pi/2是不是分数
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FROM 111.199.105.*
定义说的是写成分数形式，这确实有歧义。
【 在 jaralist 的大作中提到: 】
: 你连什么是分数都不知道哈哈
: - 来自 水木社区APP v3.5.7
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FROM 114.246.236.*
我觉得更有可能是先把有理数无理数翻译出来了，然后有理数的词根是比例，也对应的把中文有理数中的理字作为比例的翻译吧，觉得理和有理的对应比较符合拉丁文的有理和比例两个词的对应吧
【 在 lvarez 的大作中提到: 】
: 错误，这是想当然，其实，有理数概念被译为汉字词汇的时候根本就没有现代意义的英文，莎士比亚之前的所谓古英语，基本是文盲在使用也与后来的英文差距巨大，现代英语母语的人根本读不懂本来也没有多少的古英语文献。从没有什么古英语文字的几何原本。中囯在翻译几何原本的时候，徐光启将拉丁文logos译为理，这才是有理数的起源。理本来就在文言中有比的意思。不是从英语翻译的。英语rational更常见的意思是有道理的，只是一种巧合。
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FROM 58.37.220.*
这是徐光启翻译的，翻译成可比数更好
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【 在 TGIF 的大作中提到: 】
: 书本定义是本质，孩子只是描述内容
: 有理数是个历史翻译问题，rational number本意就是可表示a/b形式的数，rational是ratio比例的形容词，翻译成理性就不恰当了。
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FROM 223.104.40.*
这是超越数
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【 在 rliw 的大作中提到: 】
: 有道理，pi/3是有理数不？
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FROM 223.104.40.*
你自己就不懂吧。你这里找来有理数、分数的定义已经够乱了，十进小数的定义错得甚至都没考虑无穷情形，后面用dedekind分割定义无理数的部分则没做到数系的正确嵌入，隐含着让无理数与有理数处于不同层级的问题（比如没法计算）。
数系扩张是个技术活，必须成体系按规矩来。而实数的理解本来就是高等数学的重点和难点，初等数学阶段不作要求也很难说清楚，能说清楚的就是有理数。
有理数的本质不复杂，就是整数之比，当然分母不为零。搞清楚数学概念重要，纠结字眼在数学上意义不大。
这背后容易让人迷惑的，其实是对“数”朴素理解是不明晰的、有歧义的。它可以是数的抽象概念、数的表示方法，以至于更艰涩一点的数的构造、数的公理化刻画之类。
我们说分数或者循环小数，这是数的表示方法；说有理数、实数，这是数集的抽象概念。在描述有理数的抽象概念时，就要考虑到其性质和表示：可以用分数（整数之比，分母不为零）表示法来定义有理数，这是因为任一（抽象概念上的）有理数都能这样表示，而且反过来任一分数表示也都是一个有理数，这才能构成定义。类似地也可以用无穷小数表示法来定义有理数，所有有理数都可以表示为循环无穷小数（有限小数看做末尾0循环或9循环），所有循环无穷小数也都是有理数，那也可以构成有理数定义。数学教材期待学生掌握这种定义性质，即所有有理数都满足这种性质，所有满足这样性质的数都是有理数。数学教学也在训练这种思维模式。
【 在 one23 的大作中提到: 】
: 真是基础教育的悲哀。找了点资料，可以凑合看看
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: 1）有理数的定义：我们把0和每一个正或负的整数或分数统称为有理数。
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FROM 114.249.211.*
其实是这样的。看教材上用语“分数形式”，应该明白，在课本体系中，分数是一种数的表示形式。5 就可以写成分数 5/1 或者 15/3。数还有其他表示形式，比如 5 还可以写成 5.0 或者 5.0000…（循环）。
那么首先就应该区分数、数的表示形式这两件事。正如汉字五、英文词five、阿拉伯数字5，都是表示同一抽象概念一样。
如果不区分清楚这个，按照“整数和分数”这种描述，就可能犯把 1/2 当成有理数，而把 0.5 不当成有理数的问题。或者更糟糕一点，就是这个定义没法实际应用。
数学定义实际上是要给出一个概念的性质，不多不少地把这个概念界定出来，使得对这个概念的一切后续分析都从这个性质出发。这个性质可以叫定义性质。对一个概念可以从不同角度给出定义性质，这些性质本质上是等价的。
有理数的“可写成分数形式”这个性质就不多不少地界定了这个概念。应用起来，整数 5，就可以写成 5/1，从而是有理数；而 √2 则无法写成分数形式，就不是有理数。
分类“整数和分数”，可能是以前小学教材教学次序来，先学习整数，再引入分数，这些当然都是有理数而且有理数也都能这么写。不过这里没说清楚的是，分数是作为一种形式出现（排除掉了 0.5）还是作为概念出现（与有理数重复），甚至隐藏着整数是不是在分数范筹内（5/1 是分数吗）的问题。
【 在 happyyuans 的大作中提到: 】
: 孩子说有理数包括整数和分数。
: 老师让看课本。我看了下课本，写着：能写成分数形式的是有理数。
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FROM 114.249.211.*
都是别人的东西，就是学着看、试着理解的。
你有更加清晰的原始类的定义性的文字，麻烦也罗列一下，我在对比着看看。
【 在 milksea 的大作中提到: 】
: 你自己就不懂吧。你这里找来有理数、分数的定义已经够乱了，十进小数的定义错得甚至都没考虑无穷情形，后面用dedekind分割定义无理数的部分则没做到数系的正确嵌入，隐含着让无理数与有理数处于不同层级的问题（比如没法计算）。
: 数系扩张是个技术活，必须成体系按规矩来。而实数的理解本来就是高等数学的重点和难点，初等数学阶段不作要求也很难说清楚，能说清楚的就是有理数。
: 有理数的本质不复杂，就是整数之比，当然分母不为零。搞清楚数学概念重要，纠结字眼在数学上意义不大。
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修改:one23 FROM 101.87.6.*
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