- 主题:托圆从顶点出发的弦长
有以下问题
椭圆顶点A，其上两不同点P，Q，线段长AP=AQ，求证P和Q关于轴对称
有什么简短、简洁的方法推导？
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FROM 114.89.214.*
不一定
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FROM 116.230.161.*
对于椭圆 (x/a)^2+(y/b)^2 = 1， a>b>0
A点如果是短轴顶点(0,b)，当a/b > sqrt(3)时，做一个半径略大于2b是可以和椭圆交于四个点的，这四个点不是都轴对称。
如果A是长轴顶点，比如(-a, 0)
椭圆方程和 (x+a)^2 + y^2 = m^2联立，可以求出x两个解x1, x2 (x1 < x2)。
易证x1 < -a，舍去。所以两交点都在x=x2直线上，易证轴对称。
【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 有以下问题
: 椭圆顶点A，其上两不同点P，Q，线段长AP=AQ，求证P和Q关于轴对称
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: ...................
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FROM 123.114.94.*
假设另一顶点为B，容易证明当P顺时针（或逆时针）从A向B运动时，PA是单调递增的：
PA^2 = PO^2 + AO^2 - 2PO*AO*cos∠POA (O是离A近的那个焦点)
AO固定，PO单调增、∠POA单调增，所以 PA 单调增。
由椭圆的对称性，显然P和Q对称时AP=AQ。
那么若P和Q不对称，
1、如果在同一侧，由单调性，AP必然不等AQ
2、如果在异侧，在P侧找Q的对称点
【 在 Lispboreme (学习求教) 的大作中提到: 】
: 有以下问题
: 椭圆顶点A，其上两不同点P，Q，线段长AP=AQ，求证P和Q关于轴对称
: 有什么简短、简洁的方法推导？
: ...................
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FROM 163.125.192.*
谢谢，这个看懂了，不过证明PO单调增似乎也不可能一句话说清楚？
我能想到就是将x=rcosθ，y=rsinθ代入椭圆方程来解出r的表达式，这样至少三行
再联合余弦定理解AP的两行，写起来也不算很简单了（当然思路是很简单的）
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 假设另一顶点为B，容易证明当P顺时针（或逆时针）从A向B运动时，PA是单调递增的：
: PA^2 = PO^2 + AO^2 - 2PO*AO*cos∠POA (O是离A近的那个焦点)
: AO固定，PO单调增、∠POA单调增，所以 PA 单调增。
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FROM 114.89.214.*
易证x1<-a如何得到？
方程为e^2x^2+2ax+a^2+b^2-m^2=0,e是离心率，似乎不那么易吧
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 对于椭圆 (x/a)^2+(y/b)^2 = 1， a>b>0
: A点如果是短轴顶点(0,b)，当a/b > sqrt(3)时，做一个半径略大于2b是可以和椭圆交于四个点的，这四个点不是都轴对称。
: 如果A是长轴顶点，比如(-a, 0)
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FROM 114.89.214.*
我没用e，就是a,b,m。a>b>0
消掉y，变成x的一元二次方程
其中较小的那个根恒小于 -a，不可能是椭圆上的点，所以舍去。
【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 易证x1<-a如何得到？
: 方程为e^2x^2+2ax+a^2+b^2-m^2=0,e是离心率，似乎不那么易吧
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FROM 123.114.94.*
另外这结论只有A为长轴顶点才成立
若A为短轴顶点，且a/b>√3时侯是存在反例的
【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 易证x1<-a如何得到？
: 方程为e^2x^2+2ax+a^2+b^2-m^2=0,e是离心率，似乎不那么易吧
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FROM 123.114.94.*
你回了两帖还是没说怎么易得啊？解出根表达式来判断吗
【 在 Zinux 的大作中提到: 】
: 我没用e，就是a,b,m。a>b>0
: 消掉y，变成x的一元二次方程
: 其中较小的那个根恒小于 -a，不可能是椭圆上的点，所以舍去。
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FROM 114.89.214.*
你自己求根表达式，然后证明 根表达式 < -a 呀
化简下，去分母，去根号就出来了
记得 a>b>0, m>0就有了
【 在 Lispboreme 的大作中提到: 】
: 你回了两帖还是没说怎么易得啊？解出根表达式来判断吗
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FROM 123.114.94.*