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- 主题:看到一道很不错的静力学题
- 当然是两根棒的一端都抬起来，维持两根棒平行。
【 在 SHENOK 的大作中提到: 】
: 只抬一根原棒的一端吗？
: 圆柱是侧面躺在棒上还是底面？
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FROM 202.119.42.* - 那还好， 要不然太烧脑了
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 当然是两根棒的一端都抬起来，维持两根棒平行。
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FROM 81.144.32.* - 静摩擦问题如果不是临界角，确实可能方程数不够存在多解。但本题问的是临界角，只可能有1个解的。
正确答案是45°。
【 在 a358 的大作中提到: 】
: 上面我关于力矩的方程论述有bug，但不要紧，结论没变。
: 设xy平面通过质心，则它是对称面，合力矩垂直于xy平面的分量是可以存在的（力矩是轴矢量），这能多给1个方程，但还是不解决问题，方程数不够。
: 多的这个力矩方程见图：
: ...................
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FROM 202.119.42.* - 你算错了吧， 要不就是题的数给错了
应该是正切值不大于sqrt（2/3）
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 静摩擦问题如果不是临界角，确实可能方程数不够存在多解。但本题问的是临界角，只可能有1个解的。
: 正确答案是45°。
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FROM 81.144.32.* - 这个结果是最容易算出来的，但还可以更大。
【 在 SHENOK 的大作中提到: 】
: 你算错了吧， 要不就是题的数给错了
: 应该是正切值不大于sqrt（2/3）
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FROM 202.119.42.* - 这题的关键是摩擦力的方向。可以将坐标系转到斜面的正交方向，视为有个mgsinx的力在“水平”推动圆柱，这样杆子对圆柱的支持力N只能抵消“重力mgcosx部分”，于是这个水平推力只能由摩擦力来抵消，即f1=1/2 mgsinx，因为有两根杆子所以要除以2。之所以写f1是因为摩擦力不一定就沿着杆子的方向，它还可以有垂直杆子方向的分力f2，这个f2与N类似，还可以沿新坐标系分出两个分力，其中一个对称抵消，另外一个与N的分力和1/2 mgcosx之间正好平衡。因此一共可以写出三个方程：
f1 = 1/2 mgsinx
sqrt2/2 N = 1/2 mgcosx +- sqrt2/2 f2
f1^2 + f2^2 <= 1/3 N^2
其中第二个方程中，为了使N尽量的大，+-这里就只取+号。
把f1和f2代入第三个方程，化简可以得到
cosx^2 - 4sqrt2 k cosx + (1+8/3 k^2) <= 0
其中k=N/mg
要使得x尽量的大，则cosx要尽量小，所以满足上述不等式的最小cosx就是关于它的二次方程的小根处，得到
cosx = 2sqrt2 k - sqrt(16/3 k^2-1)
这是关于k的方程，求导后等于0可以算出它取极值时的k=3/4，且可以验证是极小值
此时cosx=sqrt2/2，N=3/4mg
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 两根细圆棒间距sqrt2*R，高度相同，水平平行放置，两圆棒之上有一半径为R的圆柱，最大静摩擦系数sqrt3/3。现将细圆棒一端抬起至多大角度可以保证圆柱开始下滑。
: 这题难度不小，对空间思维是很好的训练。
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FROM 125.118.100.* - 感觉摩擦力垂直于杆子的分力跟刚体模型有点点冲突,静摩擦力来自与运动趋势,垂直方向
没有运动的可能,会有运动趋势吗?当然这只是模型设定的问题
【 在 webhost 的大作中提到: 】
: 这题的关键是摩擦力的方向。可以将坐标系转到斜面的正交方向，视为有个mgsinx的力
: 在“水平”推动圆柱，这样杆子对圆柱的支持力N只能抵消“重力mgcosx部分”，于是这
: 个水平推力只能由摩擦力来抵消，即f1=1/2 mgsinx，因为有两根杆子所以要除以2。之所
: 以写f1是因为摩擦力不一定
: 就沿着杆子的方向，它还可以有垂直杆子方向的分力f2，这个f2与N类似，还可以沿新
: 坐标系分出两个分力，其中一个对称抵消，另外一个与N的分力和1/2 mgcosx之间正好平
: 衡。因此一共可以写出三个方程：
: f1 = 1/2 mgsinx
: ...................
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FROM 203.208.61.* - 是有点奇怪，只是这里两根杆子可以用力去夹圆柱。
就好比如果摩擦系数等于sqrt2，则两根筷子可以这样竖直夹住圆柱不掉，但如果转成普通斜面，sqrt2的摩擦系数只能保证不到60度的倾角不滑落。
【 在 MeiYou9 的大作中提到: 】
: 感觉摩擦力垂直于杆子的分力跟刚体模型有点点冲突,静摩擦力来自与运动趋势,垂直方向
: 没有运动的可能,会有运动趋势吗?当然这只是模型设定的问题
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FROM 125.118.100.* - 我认为你说的有道理。
webhost的解题思路见图：其中压力N的方向应该是没有争议的，压力就是垂直于接触面。关键是静摩擦力的方向，他应该是只考虑静摩擦力必须沿接触面这一个要求，这样静摩檫力就分解成了图中f1，f2。其中f2的方向用双向箭头表示，和方程中的+-号对应。剩下的求极值就可以了。
但这里关键问题是：如果存在f2，则两根棒给予的静摩檫力就不平行，这和“静摩檫力和相对运动趋势相反“矛盾。由于xy平面是对称面，意味着圆柱体相对运动趋势一定是平行于xy平面的，则两根棒给予圆柱体的静摩檫力一定是平行关系，平行于xy平面，且方向相同，这样就不会有f2这样的分量。
同时考虑对称性对相对运动的限制、静摩檫力沿接触面，则只存在f1。
【 在 MeiYou9 的大作中提到: 】
: 感觉摩擦力垂直于杆子的分力跟刚体模型有点点冲突,静摩擦力来自与运动趋势,垂直方向
: 没有运动的可能,会有运动趋势吗?当然这只是模型设定的问题
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:【 在 webhost 的大作中提到: 】
: 这题的关键是摩擦力的方向。可以将坐标系转到斜面的正交方向，视为有个mgsinx的力
: 在“水平”推动圆柱，这样杆子对圆柱的支持力N只能抵消“重力mgcosx部分”，于是这
: 个水平推力只能由摩擦力来抵消，即f1=1/2 mgsinx，因为有两根杆子所以要除以2。之所
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修改:a358 FROM 111.199.104.*
FROM 111.199.104.* - 哦哦,考虑到两根杆子用力夹的话确实就能理解了,直觉上就把杆子当作被动的了
【 在 webhost 的大作中提到: 】
: 是有点奇怪，只是这里两根杆子可以用力去夹圆柱。
: 就好比如果摩擦系数等于sqrt2，则两根筷子可以这样竖直夹住圆柱不掉，但如果转成
: 普通斜面，sqrt2的摩擦系数只能保证不到60度的倾角不滑落。
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FROM 203.208.61.*