同济上册的习题，1/[3+(sinx)^2]的不定积分，答案给的原函数是
2/sqrt3 * arctan(2/sqrt3 tanx)+C
学生问被积函数是正的，原函数应该单调增，为什么得到一个周期函数
另外如果算0到6派的定积分，用这个原函数代入算也不对

事实上是换元截断了定义域，而且这种结果的原函数形式上相对比较简单

这个问题和1/x定积分中的常数C不固定还不一样，那个是因为被积函数本身就不连续，所以正区间和负区间可以选取不同的C. 这个题，人家本来是连续的

怎么给学生解释呢，就甩锅给同济教材说它不严谨？
--
修改:gtgtjing FROM 124.127.171.*
FROM 124.127.171.*

数学上的原因我相信混贵版的都理解，问题是怎么给学生讲清楚，学生良莠不齐，肯定不能在班里主动提这个话题，会让本来就学不明白的更晕，多思考的跑来问，一遍遍被动解释又麻烦，所以想找个最好一句话说清的理由

而且学生会质疑结果是不是应该写成某个原函数加2[k]π+C的这种类似的形式
归根结底就是想证明书上错了

【 在 dormouseBHU 的大作中提到: 】
: 我的理解：主要原因是 arctan 是多值函数。积分结果会从 arctan 一个分支跳转到另一个分支。
:
--
FROM 114.254.2.*

好学生。就说这道习题不严谨或者超纲，以后的教学中提前把它去掉。
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: 同济上册的习题，1/[3+(sinx)^2]的不定积分，答案给的原函数是
: 2/sqrt3 * arctan(2/sqrt3 tanx)+C
: 学生问被积函数是正的，原函数应该单调增，为什么得到一个周期函数
: ...................
--
FROM 114.86.50.*

你都说了是换元的问题


只需要让学生注意两点
1. 自然定义域的概念。让学生观察积分过程中每一步变形时左右两端被积函数的自然定义域
2. 根据定义，不定积分在一个连续区间上求。

1，2和在一起，是在每步计算的被积函数的自然定义域的交集所包含的某个连续区间上算不定积分。




【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
:
: 同济上册的习题，1/[3+(sinx)^2]的不定积分，答案给的原函数是
: 2/sqrt3 * arctan(2/sqrt3 tanx)+C
: 学生问被积函数是正的，原函数应该单调增，为什么得到一个周期函数
: 另外如果算0到6派的定积分，用这个原函数代入算也不对

#发自zSMTH@V2312A
--
FROM 120.36.12.*

你让学生检查求这个不定积分的计算过程，根据以上两点，他就会发现并不是在实轴上计算原函数而是在一个同时满足1，2的区间上计算原函数。


进一步，如果理解了原来计算的要点，就会想到除了提取分母的cosx平方计算外还可以提取sinx平方计算，这样可以避开cosx的0点。将这两种方法计算的原函数合适地拼接起来就会得到实轴上的用分段函数表示的原函数。



【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
:
: 这不就成了擅自修改题目定义域了吗？这种操作放到哪也说不过去啊
: 【 在 owtgnaw 的大作中提到: 】
: : 你都说了是换元的问题
: : 只需要让学生注意两点

#发自zSMTH@V2445EA
--
FROM 120.36.12.*