- 主题:2022北京大学强基计划数学试题
请问这个考试是今年突然变难了，还是过去两三年一直都这么难？
另外，除了数学外没有其他科目需要考试吗？有的话试题在哪里看？
【 在 wang73 的大作中提到: 】
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FROM 114.89.214.*
前八题还行，但9题怎么做？
原来是第9题敲错了
【 在 wang73 的大作中提到: 】
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修改:Yellowrabbit FROM 111.201.211.*
FROM 111.201.211.*
被坑了，第九题不是+是和，我说怎么那么难
【 在 wang73 的大作中提到: 】
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FROM 111.201.211.*
第三题：
y肯定为偶数，则令y=2p,所以 4^p+2p能被100整除
p=1时，4^p模100余数为 4 2p的末两位必须为96，p的末两位必须为48或者98
p=2时，4^p模100余数为 16 2p的末两位必须为84，p的末两位必须为42或者92
p=3时，4^p模100余数为 64 2p的末两位必须为36，p的末两位必须为18或者68
p=4时，4^p模100余数为 56 2p的末两位必须为44，p的末两位必须为22或者72
p=5时，4^p模100余数为 24 2p的末两位必须为76，p的末两位必须为38或者88
p=6时，4^p模100余数为 96 2p的末两位必须为4，p的末两位必须为02或者52
p=7时，4^p模100余数为 84 2p的末两位必须为16，p的末两位必须为08或者58
p=8时，4^p模100余数为 36 2p的末两位必须为64，p的末两位必须为32或者82
p=9时，4^p模100余数为 44 2p的末两位必须为56，p的末两位必须为28或者68
p=10时，4^p模100余数为76 2p的末两位必须为24，p的末两位必须为12或者62
p=11时，4^p模100余数为 4
p=12时，4^p模100余数为 16
可以看出是以4^p对100的余数是以10为周期的周期性变换特性
只有p的尾数为42或者92时，是能满足条件的。
y的尾数为84时满足，y=84,184,284,384，.....1984
y一共有20个。
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
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FROM 111.202.125.*
第七题：
由于内切圆的半径R乘以四边形的周长除以2等于四边形的面积S，所以只要算出面积的范围即可。
由余弦定理：
1+4-4cosB=9+16-24cosD
整理得到： 5=6cosD-cosB
由正弦定理： S=sinB+6sinD
平方相加得到： S^2+25=36+1+12sinBsinD-12cosBcosD
整理得到： S^2=12(1-cos(B+D))
所以其实就是求cos(B+D)的范围
显然cos(B+D)最小值为-1，当B+D=180时取得，此时ABCD共圆
S^2(MAX)=24
当四边形退化为三角形时，cos(B+D)取最大值，验算一下两种不同的退化方法，容易得到当边长1和边长3共线时，cos(B+D)最大，值为-1/4
S^2(MIN)=15
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
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FROM 111.202.125.*
这考场上能想的出来?每题才3分钟
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第七题：
: 由于内切圆的半径R乘以四边形的周长除以2等于四边形的面积S，所以只要算出面积的范围即可。
: 由余弦定理：
: ...................
--来自微微水木3.5.12
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FROM 171.113.248.*
第三题还行看到模100，就应该知道考察y的后两位就行了。
第7题是真的只有老手才能快速想出来，对三角形和数字要非常敏感。
【 在 spioner007 的大作中提到: 】
: 这考场上能想的出来?每题才3分钟
: --来自微微水木3.5.12
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FROM 111.202.125.*
这得套路很熟吧？这里面的题还需要计算量，所以你得上来就知道这题思路是啥才有可能很快作出来吧。
【 在 spioner007 的大作中提到: 】
: 这考场上能想的出来?每题才3分钟
: --来自微微水木3.5.12
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FROM 114.255.230.*
这题你是事先知道了4^p模100是10个一循环吗？我一开始作这题用2^p来找循环，可能数太多了我数错了，发现是19个一循环，这下子给我搞懵了，不知道怎么往下做了。。。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第三题：
: y肯定为偶数，则令y=2p,所以 4^p+2p能被100整除
: p=1时，4^p模100余数为 4 2p的末两位必须为96，p的末两位必须为48或者98
: ...................
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FROM 114.255.230.*
第7题还好，有思路就行，计算量不大。而且就算不能像你那样列出解析式，也可以靠直觉判断出接近圆时面积最大，三角形时最小。
最烦的还是第一题、第三题这种，就算有一点思路能减少一点计算，计算量还是很大；一不小心哪个数字算错，就前功尽弃，由此还会不停怀疑是不是应该再换个思路，唉。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第三题还行看到模100，就应该知道考察y的后两位就行了。
: 第7题是真的只有老手才能快速想出来，对三角形和数字要非常敏感。
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FROM 120.229.36.*